SciPy - 线性代数

SciPy 使用经过优化的ATLAS LAPACK 和 BLAS 库构建。它具有非常快速的线性代数功能。所有这些线性代数例程都期望一个可以转换为二维数组的对象。这些例程的输出也是一个二维数组。

SciPy.linalg 与 NumPy.linalg

scipy.linalg 包含 numpy.linalg 中的所有函数。此外，scipy.linalg 还有一些 numpy.linalg 中没有的其他高级函数。与 numpy.linalg 相比，使用 scipy.linalg 的另一个优势在于，它始终使用 BLAS/LAPACK 支持进行编译，而对于 NumPy，这是可选的。因此，SciPy 版本的速度可能会更快，具体取决于 NumPy 的安装方式。

线性方程

scipy.linalg.solve 功能求解线性方程 a * x + b * y = Z，以求解未知的 x、y 值。

例如，假设需要求解以下联立方程组。

x + 3y + 5z = 10

2x + 5y + z = 8

2x + 3y + 8z = 3

为了求解上述方程的 x、y、z 值，我们可以使用如下所示的矩阵逆法找到解向量。

$$\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5\\ 2 & 5 & 1\\ 2 & 3 & 8 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} 10\\ 8\\ 3 \end{bmatrix} = \frac{1}{25} \begin{bmatrix} -232\\ 129\\ 19 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -9.28\\ 5.16\\ 0.76 \end{bmatrix}.$$

但是，最好使用linalg.solve 命令，它可能更快且数值稳定性更好。

solve 函数接受两个输入“a”和“b”，其中“a”表示系数，“b”表示相应的右侧值，并返回解数组。

让我们考虑以下示例。

#importing the scipy and numpy packages
from scipy import linalg
import numpy as np

#Declaring the numpy arrays
a = np.array([[3, 2, 0], [1, -1, 0], [0, 5, 1]])
b = np.array([2, 4, -1])

#Passing the values to the solve function
x = linalg.solve(a, b)

#printing the result array
print x

以上程序将生成以下输出。

array([ 2., -2., 9.])

求行列式

方阵 A 的行列式通常表示为 |A|，是线性代数中经常使用的量。在 SciPy 中，这是使用det() 函数计算的。它接受一个矩阵作为输入并返回一个标量值。

让我们考虑以下示例。

#importing the scipy and numpy packages
from scipy import linalg
import numpy as np

#Declaring the numpy array
A = np.array([[1,2],[3,4]])

#Passing the values to the det function
x = linalg.det(A)

#printing the result
print x

以上程序将生成以下输出。

-2.0

特征值和特征向量

特征值-特征向量问题是最常用的线性代数运算之一。我们可以通过考虑以下关系找到方阵 (A) 的特征值 (λ) 和相应的特征向量 (v)：

Av = λv

scipy.linalg.eig 计算普通或广义特征值问题的特征值。此函数返回特征值和特征向量。

让我们考虑以下示例。

#importing the scipy and numpy packages
from scipy import linalg
import numpy as np

#Declaring the numpy array
A = np.array([[1,2],[3,4]])

#Passing the values to the eig function
l, v = linalg.eig(A)

#printing the result for eigen values
print l

#printing the result for eigen vectors
print v

以上程序将生成以下输出。

array([-0.37228132+0.j, 5.37228132+0.j]) #--Eigen Values
array([[-0.82456484, -0.41597356], #--Eigen Vectors
       [ 0.56576746, -0.90937671]])

奇异值分解

奇异值分解 (SVD) 可以被认为是将特征值问题扩展到非方阵的矩阵。

scipy.linalg.svd 将矩阵“a”分解为两个酉矩阵“U”和“Vh”以及一个包含奇异值（实数，非负）的一维数组“s”，使得 a == U*S*Vh，其中“S”是一个形状合适的零矩阵，其主对角线为“s”。

让我们考虑以下示例。

#importing the scipy and numpy packages
from scipy import linalg
import numpy as np

#Declaring the numpy array
a = np.random.randn(3, 2) + 1.j*np.random.randn(3, 2)

#Passing the values to the eig function
U, s, Vh = linalg.svd(a)

# printing the result
print U, Vh, s

以上程序将生成以下输出。

(
   array([
      [ 0.54828424-0.23329795j, -0.38465728+0.01566714j,
      -0.18764355+0.67936712j],
      [-0.27123194-0.5327436j , -0.57080163-0.00266155j,
      -0.39868941-0.39729416j],
      [ 0.34443818+0.4110186j , -0.47972716+0.54390586j,
      0.25028608-0.35186815j]
   ]),

   array([ 3.25745379, 1.16150607]),

   array([
      [-0.35312444+0.j , 0.32400401+0.87768134j],
      [-0.93557636+0.j , -0.12229224-0.33127251j]
   ])
)

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