SciPy - 优化

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scipy.optimize 包提供了一些常用的优化算法。此模块包含以下方面：

  • 使用各种算法（例如 BFGS、Nelder-Mead 单纯形、牛顿共轭梯度、COBYLA 或 SLSQP）进行多元标量函数的无约束和约束最小化 (minimize())

  • 全局（蛮力）优化例程（例如，anneal()、basinhopping()）

  • 最小二乘最小化 (leastsq()) 和曲线拟合 (curve_fit()) 算法

  • 标量单变量函数最小化器 (minimize_scalar()) 和根查找器 (newton())

  • 使用各种算法（例如混合 Powell、Levenberg-Marquardt 或大规模方法，如 Newton-Krylov）的多元方程组求解器 (root())

多元标量函数的无约束和约束最小化

minimize() 函数为 scipy.optimize 中多元标量函数的无约束和约束最小化算法提供了一个通用接口。为了演示最小化函数，考虑最小化 NN 变量的 Rosenbrock 函数的问题：

$$f(x) = \sum_{i = 1}^{N-1} \:100(x_i - x_{i-1}^{2})$$

此函数的最小值为 0，当 xi = 1 时达到。

Nelder-Mead 单纯形算法

在以下示例中，minimize() 例程与 Nelder-Mead 单纯形算法 (method = 'Nelder-Mead') 一起使用（通过 method 参数选择）。让我们考虑以下示例。

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize

def rosen(x):

x0 = np.array([1.3, 0.7, 0.8, 1.9, 1.2])
res = minimize(rosen, x0, method='nelder-mead')

print(res.x)

以上程序将生成以下输出。

[7.93700741e+54  -5.41692163e+53  6.28769150e+53  1.38050484e+55  -4.14751333e+54]

单纯形算法可能是最小化一个相当良好的函数的最简单方法。它只需要函数评估，并且是简单最小化问题的不错选择。但是，因为它不使用任何梯度评估，所以找到最小值可能需要更长时间。

另一个只需要函数调用即可找到最小值的优化算法是 Powell 方法，可以通过在 minimize() 函数中设置 method = 'powell' 来使用。

最小二乘法

求解具有变量边界的非线性最小二乘问题。给定残差 f(x)（n 个实变量的 m 维实函数）和损失函数 rho(s)（标量函数），least_squares 找到成本函数 F(x) 的局部最小值。让我们考虑以下示例。

在此示例中，我们找到 Rosenbrock 函数的最小值，而没有对自变量进行限制。

#Rosenbrock Function
def fun_rosenbrock(x):
   return np.array([10 * (x[1] - x[0]**2), (1 - x[0])])
   
from scipy.optimize import least_squares
input = np.array([2, 2])
res = least_squares(fun_rosenbrock, input)

print res

请注意，我们只提供了残差向量。该算法将成本函数构造为残差平方和，从而得到 Rosenbrock 函数。精确的最小值位于 x = [1.0,1.0]。

以上程序将生成以下输出。

active_mask: array([ 0., 0.])
      cost: 9.8669242910846867e-30
      fun: array([ 4.44089210e-15, 1.11022302e-16])
      grad: array([ -8.89288649e-14, 4.44089210e-14])
      jac: array([[-20.00000015,10.],[ -1.,0.]])
   message: '`gtol` termination condition is satisfied.'
      nfev: 3
      njev: 3
   optimality: 8.8928864934219529e-14
      status: 1
      success: True
         x: array([ 1., 1.])

求根

让我们了解求根如何在 SciPy 中提供帮助。

标量函数

如果有一个单变量方程，则可以尝试四种不同的求根算法。这些算法中的每一个都需要一个预期存在根的区间的端点（因为函数符号发生变化）。一般来说，brentq 是最佳选择，但在某些情况下或出于学术目的，其他方法可能有用。

不动点求解

与寻找函数零点密切相关的问题是寻找函数不动点的问题。函数的不动点是在评估函数返回该点时的点：g(x) = x。显然 gg 的不动点是 f(x) = g(x)−x 的根。等效地，ff 的根是 g(x) = f(x)+x 的不动点。例程 fixed_point 提供了一个简单的迭代方法，使用 Aitkens 序列加速来估计 gg 的不动点，如果给定起始点。

方程组

可以使用 root() 函数找到一组非线性方程的根。有几种方法可用，其中 hybr（默认）和 lm 分别使用来自 MINPACK 的 Powell 的混合方法和 Levenberg-Marquardt 方法。

以下示例考虑了单变量超越方程。

x2 + 2cos(x) = 0

其根可以如下找到：

import numpy as np
from scipy.optimize import root
def func(x):
   return x*2 + 2 * np.cos(x)
sol = root(func, 0.3)
print sol

以上程序将生成以下输出。

fjac: array([[-1.]])
fun: array([ 2.22044605e-16])
message: 'The solution converged.'
   nfev: 10
   qtf: array([ -2.77644574e-12])
      r: array([-3.34722409])
   status: 1
   success: True
      x: array([-0.73908513])
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