SciPy - FFTpack

傅里叶变换是在时域信号上计算的，用于检查其在频域中的行为。傅里叶变换应用于信号和噪声处理、图像处理、音频信号处理等学科。SciPy 提供了 fftpack 模块，允许用户计算快速傅里叶变换。

以下是一个正弦函数的示例，它将用于使用 fftpack 模块计算傅里叶变换。

快速傅里叶变换

让我们详细了解什么是快速傅里叶变换。

一维离散傅里叶变换

长度为 N 的序列 x[n] 的长度为 N 的 FFT y[k] 由 fft() 计算，逆变换由 ifft() 计算。让我们考虑以下示例

#Importing the fft and inverse fft functions from fftpackage
from scipy.fftpack import fft

#create an array with random n numbers
x = np.array([1.0, 2.0, 1.0, -1.0, 1.5])

#Applying the fft function
y = fft(x)
print y

上述程序将生成以下输出。

[ 4.50000000+0.j           2.08155948-1.65109876j   -1.83155948+1.60822041j
 -1.83155948-1.60822041j   2.08155948+1.65109876j ]

让我们看另一个例子

#FFT is already in the workspace, using the same workspace to for inverse transform

yinv = ifft(y)

print yinv

上述程序将生成以下输出。

[ 1.0+0.j   2.0+0.j   1.0+0.j   -1.0+0.j   1.5+0.j ]

scipy.fftpack 模块允许计算快速傅里叶变换。例如，一个（噪声）输入信号可能如下所示：

import numpy as np
time_step = 0.02
period = 5.
time_vec = np.arange(0, 20, time_step)
sig = np.sin(2 * np.pi / period * time_vec) + 0.5 *np.random.randn(time_vec.size)
print sig.size

我们正在创建一个时间步长为 0.02 秒的信号。最后一条语句打印信号 sig 的大小。输出如下：

我们不知道信号频率；我们只知道信号 sig 的采样时间步长。该信号应该来自一个实函数，因此傅里叶变换将是对称的。scipy.fftpack.fftfreq() 函数将生成采样频率，scipy.fftpack.fft() 将计算快速傅里叶变换。

让我们通过一个例子来理解这一点。

from scipy import fftpack
sample_freq = fftpack.fftfreq(sig.size, d = time_step)
sig_fft = fftpack.fft(sig)
print sig_fft

上述程序将生成以下输出。

array([ 
   25.45122234 +0.00000000e+00j,   6.29800973 +2.20269471e+00j,
   11.52137858 -2.00515732e+01j,   1.08111300 +1.35488579e+01j,
   …….])

离散余弦变换

离散余弦变换 (DCT) 用一系列不同频率的余弦函数之和来表示有限的数列数据点。SciPy 使用函数dct 提供 DCT，并使用函数idct 提供相应的 IDCT。让我们考虑以下示例。

from scipy.fftpack import dct
print dct(np.array([4., 3., 5., 10., 5., 3.]))

上述程序将生成以下输出。

array([ 60.,  -3.48476592,  -13.85640646,  11.3137085,  6.,  -6.31319305])

逆离散余弦变换根据其离散余弦变换 (DCT) 系数重建序列。idct 函数是 dct 函数的逆函数。让我们通过以下示例来理解这一点。

from scipy.fftpack import dct
print idct(np.array([4., 3., 5., 10., 5., 3.]))

上述程序将生成以下输出。

array([ 39.15085889, -20.14213562, -6.45392043, 7.13341236,
8.14213562, -3.83035081])

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