SciPy - 积分

当一个函数无法进行解析积分，或者解析积分非常困难时，通常会转向数值积分方法。SciPy 提供了许多执行数值积分的例程。大多数例程都位于同一个 **scipy.integrate** 库中。下表列出了一些常用的函数。

单重积分

Quad 函数是 SciPy 积分函数的核心。数值积分有时称为 **求积**，因此得名。它通常是执行函数 *f(x)* 在给定固定范围 a 到 b 上的单重积分的默认选择。

$$\int_{a}^{b} f(x)dx$$

quad 的一般形式为 **scipy.integrate.quad(f, a, b)**，其中 'f' 是要积分的函数的名称。而 'a' 和 'b' 分别是下限和上限。让我们来看一个高斯函数在 0 到 1 范围内的积分示例。

我们首先需要定义函数 → *f(x) = e^-x²*，这可以使用 lambda 表达式来完成，然后调用该函数上的 quad 方法。

import scipy.integrate
from numpy import exp
f= lambda x:exp(-x**2)
i = scipy.integrate.quad(f, 0, 1)
print i

上面的程序将生成以下输出。

(0.7468241328124271, 8.291413475940725e-15)

quad 函数返回两个值，第一个值是积分值，第二个值是积分值绝对误差的估计值。

**注意** - 由于 quad 需要函数作为第一个参数，因此我们不能直接将 exp 作为参数传递。Quad 函数接受正负无穷大作为积分限。Quad 函数可以积分单个变量的标准预定义 NumPy 函数，例如 exp、sin 和 cos。

多重积分

二重积分和三重积分的机制已被封装到 **dblquad、tplquad** 和 **nquad** 函数中。这些函数分别集成四个或六个参数。所有内积分的极限都需要定义为函数。

二重积分

**dblquad** 的一般形式为 scipy.integrate.dblquad(func, a, b, gfun, hfun)。其中，func 是要积分的函数的名称，'a' 和 'b' 分别是 x 变量的下限和上限，而 gfun 和 hfun 是定义 y 变量下限和上限的函数的名称。

例如，让我们执行二重积分方法。

$$\int_{0}^{1/2} dy \int_{0}^{\sqrt{1-4y^2}} 16xy \:dx$$

我们使用 lambda 表达式定义函数 f、g 和 h。请注意，即使 g 和 h 是常数（在许多情况下可能如此），也必须将其定义为函数，就像我们这里为下限所做的那样。

import scipy.integrate
from numpy import exp
from math import sqrt
f = lambda x, y : 16*x*y
g = lambda x : 0
h = lambda y : sqrt(1-4*y**2)
i = scipy.integrate.dblquad(f, 0, 0.5, g, h)
print i

上面的程序将生成以下输出。

(0.5, 1.7092350012594845e-14)

除了上面描述的例程之外，scipy.integrate 还有一些其他的积分例程，包括 nquad（执行 n 重积分），以及实现各种积分算法的其他例程。但是，quad 和 dblquad 将满足我们大多数数值积分的需求。