将以下每个多项式写成标准形式。并写出它们的次数。
(i) $x^2+3+6x+5x^4$
(ii) $a^2+4+5a^6$
(iii) $(x^3-1)(x^3-4)$
(iv) $(a^3-\frac{3}{8})(a^3+\frac{16}{17})$
(v) $(a+\frac{3}{4})(a+\frac{4}{3})$

已知

给定的表达式是

(i) $x^2+3+6x+5x^4$

(ii) $a^2+4+5a^6$

(iii) $(x^3-1)(x^3-4)$

(iv) $(a^3-\frac{3}{8})(a^3+\frac{16}{17})$

(v) $(a+\frac{3}{4})(a+\frac{4}{3})$

要求

我们需要将给定的多项式写成标准形式，并找到它们的次数。

解答

多项式：

多项式是指每个项都是一个常数乘以一个变量的整数次幂的表达式。

多项式的标准形式是指按次数从高到低排列的项的多项式。

多项式的次数

多项式的次数是指多项式表达式中变量的最高次幂。

要找到次数，请确定每一项中变量的指数，并将它们加在一起以找到每一项的次数。

(i) 给定的多项式是 $x^2+3+6x+5x^4$。

给定多项式的标准形式是 $5x^4+x^2+6x+3$

在 $5x^4$ 中，$x$ 的幂是 $4$。

因此，

给定多项式的次数是 $4$。

(ii) 给定的多项式是 $a^2+4+5a^6$。

给定多项式的标准形式是 $5a^6+a^2+4$

在 $5a^6$ 中，$a$ 的幂是 $6$。

因此，

给定多项式的次数是 $6$。

(iii) 给定的多项式是 $(x^3-1)(x^3-4)$。

$(x^3-1)(x^3-4)=x^3(x^3-4)-1(x^3-4)$

$(x^3-1)(x^3-4)=x^6-4x^3-x^3+4$

$(x^3-1)(x^3-4)=x^6-5x^3+4$

给定多项式的标准形式是 $x^6-5x^3+4$

在 $x^6$ 中，$x$ 的幂是 $6$。

因此，

给定多项式的次数是 $6$。

(iv) 给定的多项式是 $(a^3-\frac{3}{8})(a^3+\frac{16}{17})$。

$(a^3-\frac{3}{8})(a^3+\frac{16}{17})=a^3(a^3+\frac{16}{17})-\frac{3}{8}(a^3+\frac{16}{17})$

$(a^3-\frac{3}{8})(a^3+\frac{16}{17})=a^6+\frac{16}{17}a^3-\frac{3}{8}a^3-(\frac{3}{8})(\frac{16}{17})$

$(a^3-\frac{3}{8})(a^3+\frac{16}{17})=a^6+\frac{16\times8-17\times3}{17\times8}a^3-\frac{3\times16}{8\times17}$

$(a^3-\frac{3}{8})(a^3+\frac{16}{17})=a^6+\frac{128-51}{136}a^3-\frac{3\times2}{1\times17}$

$(a^3-\frac{3}{8})(a^3+\frac{16}{17})=a^6+\frac{77}{136}a^3-\frac{6}{17}$

给定多项式的标准形式是 $a^6+\frac{77}{136}a^3-\frac{6}{17}$

在 $a^6$ 中，$a$ 的幂是 $6$。

因此，

给定多项式的次数是 $6$。

(v) 给定的多项式是 $(a+\frac{3}{4})(a+\frac{4}{3})$。

$(a+\frac{3}{4})(a+\frac{4}{3})=a(a+\frac{4}{3})+\frac{3}{4}(a+\frac{4}{3})$

$(a+\frac{3}{4})(a+\frac{4}{3})=a^2+\frac{4}{3}a+\frac{3}{4}a+(\frac{4}{3})\times(\frac{3}{4})$

$(a+\frac{3}{4})(a+\frac{4}{3})=a^2+\frac{4\times4+3\times3}{12}a+1$

$(a+\frac{3}{4})(a+\frac{4}{3})=a^2+\frac{16+9}{12}a+1$

$(a+\frac{3}{4})(a+\frac{4}{3})=a^2+\frac{25}{12}a+1$

给定多项式的标准形式是 $a^2+\frac{25}{12}a+1$

在 $a^2$ 中，$a$ 的幂是 $2$。

因此，

给定多项式的次数是 $2$。

更新于： 2023年4月13日

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