一棵树因暴风雨而断裂，断裂的部分弯曲，使得树顶触地，与地面成$30^o$角。树根到树顶触地点的距离为$8\ m$。求树的高度。

已知

一棵树因暴风雨而断裂，断裂的部分弯曲，使得树顶触地，与地面成$30^{\circ}$角。

树根到树顶触地点的距离为$8 \mathrm{~m}$。

要求

我们需要求出树的高度。

解：  

设$AB$为树的原始高度，$CD$为断裂部分，树顶触地点为$D$。

设点$D$为断裂树枝顶端触地点。

根据图示，

$\mathrm{AD}=8 \mathrm{~m}, \angle \mathrm{CDA}=30^{\circ}$

设树断裂处到地面的高度为$\mathrm{CA}=x \mathrm{~m}$，断裂部分的高度为$\mathrm{DC}=y \mathrm{~m}$。

我们知道，

$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$

$=\frac{\text { CA }}{DA}$

$\Rightarrow \tan 30^{\circ}=\frac{x}{8}$

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt3}=\frac{x}{8}$

$\Rightarrow x=\frac{8}{\sqrt3} \mathrm{~m}$........(i)

类似地，

$\cos \theta=\frac{\text { 邻边 }}{\text { 斜边 }}$

$=\frac{\text { DA }}{CD}$

$\Rightarrow \cos 30^{\circ}=\frac{8}{y}$

$\Rightarrow \frac{\sqrt3}{2}=\frac{8}{y}$

$\Rightarrow y=\frac{8(2)}{\sqrt3}=\frac{16}{\sqrt3} \mathrm{~m}$

因此，

$x+y=\frac{8}{\sqrt3}+\frac{16}{\sqrt3}$

$=\frac{8+16}{\sqrt3}$

$=\frac{24}{\sqrt3}$

$=\frac{24\sqrt3}{\sqrt3 \times \sqrt3}$

$=\frac{24\sqrt3}{3}$

$=8\sqrt3 \mathrm{~m}$

因此，树的高度为 $8\sqrt3 \mathrm{~m}$.       

教程点

更新时间： 2022年10月10日

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