一棵树因暴风雨而断裂，断裂的部分弯曲，使得树顶触地，与地面成 $30^{\circ}$ 角。树根到树顶触地处之间的距离为 10 米。求这棵树的高度。

已知

一棵树因暴风雨而断裂，断裂的部分弯曲，使得树顶触地，与地面成 $30^{\circ}$ 角。

树根到树顶触地处之间的距离为 $10 \mathrm{~m}$。

要求

我们需要求出这棵树的高度。

解：  

设 $AB$ 为树的原始高度，$CD$ 为断裂部分，且触地于 $D$ 点。

设点 $D$ 为断裂树枝顶端触地处。

从图中，

$\mathrm{AD}=10 \mathrm{~m}, \angle \mathrm{CDA}=30^{\circ}$

设树断裂处到地面的高度为 $\mathrm{CA}=x \mathrm{~m}$，断裂部分的高度为 $\mathrm{DC}=y \mathrm{~m}$。

我们知道，

$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$

$=\frac{\text { CA }}{DA}$

$\Rightarrow \tan 30^{\circ}=\frac{x}{10}$

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt3}=\frac{x}{10}$

$\Rightarrow x=\frac{10}{\sqrt3} \mathrm{~m}$........(i)

类似地，

$\cos \theta=\frac{\text { 邻边 }}{\text { 斜边 }}$

$=\frac{\text { DA }}{CD}$

$\Rightarrow \cos 30^{\circ}=\frac{10}{y}$

$\Rightarrow \frac{\sqrt3}{2}=\frac{10}{y}$

$\Rightarrow y=\frac{10(2)}{\sqrt3}=\frac{20}{\sqrt3} \mathrm{~m}$

因此，

$x+y=\frac{10}{\sqrt3}+\frac{20}{\sqrt3}$

$=\frac{10+20}{\sqrt3}$

$=\frac{30}{\sqrt3}$

$=\frac{30\sqrt3}{\sqrt3 \times \sqrt3}$

$=\frac{30\sqrt3}{3}$

$=10\sqrt3=10(1.73)=17.3 \mathrm{~m}$

因此，树的高度为 $17.3 \mathrm{~m}$.       

教程点

更新于： 2022-10-10

75 次浏览

开启你的 职业生涯

通过完成课程获得认证

开始学习