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法律研究一棵树因暴风雨而断裂，断裂的部分弯曲，使得树顶触地，与地面成 \( 30^{\circ} \) 角。树根到树顶触地处之间的距离为 10 米。求这棵树的高度。
已知
一棵树因暴风雨而断裂，断裂的部分弯曲，使得树顶触地，与地面成 \( 30^{\circ} \) 角。
树根到树顶触地处之间的距离为 \( 10 \mathrm{~m} \)。
要求
我们需要求出这棵树的高度。
解：
设 $AB$ 为树的原始高度，$CD$ 为断裂部分，且触地于 $D$ 点。
设点 $D$ 为断裂树枝顶端触地处。
从图中，
$\mathrm{AD}=10 \mathrm{~m}, \angle \mathrm{CDA}=30^{\circ}$
设树断裂处到地面的高度为 $\mathrm{CA}=x \mathrm{~m}$，断裂部分的高度为 $\mathrm{DC}=y \mathrm{~m}$。
我们知道，
$\tan \theta=\frac{\text { 对边 }}{\text { 邻边 }}$
$=\frac{\text { CA }}{DA}$
$\Rightarrow \tan 30^{\circ}=\frac{x}{10}$
$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt3}=\frac{x}{10}$
$\Rightarrow x=\frac{10}{\sqrt3} \mathrm{~m}$........(i)
类似地，
$\cos \theta=\frac{\text { 邻边 }}{\text { 斜边 }}$
$=\frac{\text { DA }}{CD}$
$\Rightarrow \cos 30^{\circ}=\frac{10}{y}$
$\Rightarrow \frac{\sqrt3}{2}=\frac{10}{y}$
$\Rightarrow y=\frac{10(2)}{\sqrt3}=\frac{20}{\sqrt3} \mathrm{~m}$
因此，
$x+y=\frac{10}{\sqrt3}+\frac{20}{\sqrt3}$
$=\frac{10+20}{\sqrt3}$
$=\frac{30}{\sqrt3}$
$=\frac{30\sqrt3}{\sqrt3 \times \sqrt3}$
$=\frac{30\sqrt3}{3}$
$=10\sqrt3=10(1.73)=17.3 \mathrm{~m}$
因此，树的高度为 $17.3 \mathrm{~m}$.
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