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已知：一根高 6 米的杆子在地面上投下 2√3 米长的阴影。要求：我们需要找到太阳的仰角。解：设高度 = 6 米阴影长度 = 2√3 米θ 是仰角tanθ=高度/阴影长度=6/2√3=√3=tan60°∴ θ=60°因此，仰角为 60°
已知：\( \frac{\tan 47^{\circ}}{\cot 43^{\circ}}=1 \)要求：我们需要确定给定语句是真还是假。解：我们知道，tan (90°-θ)=cot θ因此，\frac{\tan 47^{\circ}}{\cot 43^{\circ}}=\frac{\tan(90^{\circ}-43^{\circ})}{\cot 43^{\circ}}=\frac{\cot 43^{\circ}}{\cot 43^{\circ}}=1给定语句为真。
已知：表达式 \( \left(\cos ^{2} 23^{\circ}-\sin ^{2} 67^{\circ}\right) \) 的值为正。要求：我们需要确定给定语句是真还是假。解：cos ^{2} 23^{\circ}-\sin ^{2} 67^{\circ}=(\cos 23^{\circ}-\sin 67^{\circ})(\cos 23^{\circ}+\sin 67^{\circ}) [因为 $(a^{2}-b^{2})=(a-b)(a+b)$]=[\cos 23^{\circ}-\sin(90^{\circ}-23^{\circ})](\cos 23^{\circ}+\sin 67^{\circ})$$=(\cos 23^{\circ}-\cos 23^{\circ})(\cos 23^{\circ}+\sin 67^{\circ}) [因为 $\sin (90^{\circ}-\theta)=\cos \theta]$$=0 \times (\cos 23^{\circ}+\sin 67^{\circ})$$=0$既不是正数也不是负数。给定语句为假。
已知：表达式 \( \left(\sin 80^{\circ}-\cos 80^{\circ}\right) \) 的值为负。要求：我们需要确定给定语句是真还是假。解：我们知道，sin θ在 0°<θ<90° 时递增，cos θ在 0°<θ<90° 时递减。因此，当 θ=45° 时，sin θ=cos θ=1/√2。当 θ>45° 时，sin θ>cos θ。当 θ<45° 时，sin θ
已知：\( \sqrt{\left(1-\cos ^{2} \theta\right) \sec ^{2} \theta}=\tan \theta \)要求：我们需要确定给定语句是真还是假。解：我们知道，sin ^{2} θ+cos ^{2} θ=1sec ^{2} θ = 1/cos ^{2} θsec θ = 1/cos θtan θ=sin θ/cos θ因此，\sqrt{(1-\cos ^{2} \theta) \sec ^{2} \theta} =\sqrt{\sin ^{2} \theta . \sec ^{2} \theta}=\sqrt{\sin ^{2} \theta . \frac{1}{\cos ^{2} \theta}}=\sqrt{\tan ^{2} \theta}=\tan θ给定语句为真。
已知：如果 \( \cos \mathrm{A}+\cos ^{2} \mathrm{~A}=1 \)，则 \( \sin ^{2} \mathrm{~A}+\sin ^{4} \mathrm{~A}=1 \)。要求：我们需要确定给定语句是真还是假。解：我们知道，sin ^{2} A+cos ^{2} A=1cos ^{2} A=1-sin ^{2} A因此，cos A+cos ^{2} A=1cos A=1-cos ^{2} Acos A=sin ^{2} A两边平方，得到，cos ^{2} A=sin ^{4} A1-sin ^{2} A=sin ^{4} Asin ^{2} A+sin ^{4} A=1给定语句为真。
已知：\( (\tan \theta+2)(2 \tan \theta+1)=5 \tan \theta+\sec ^{2} \theta \)。要求：我们需要确定给定语句是真还是假。解：我们知道，sec ^{2} θ-tan ^{2} θ=1因此，(\tan \theta+2)(2 \tan \theta+1)=2 \tan ^{2} \theta+4 \tan \theta+\tan \theta+2 $$=2(\sec ^{2} \theta-1)+5 \tan \theta+2$$=2 \sec ^{2} \theta+5 \tan \theta给定语句为真。
已知：如果塔的阴影长度增加，则太阳的仰角也会增加。要求：我们需要确定给定语句是真还是假。解：我们可以将仰角表示为 tanθ=塔的高度/阴影长度∴ tanθ随着阴影长度的增加而减小，即 θ减小。图中显示了随着阴影长度的增加，仰角是如何减小的。
已知：如果一个人站在一个高于湖面 3 米的平台上观察云彩及其在湖中的倒影，则云彩的仰角等于其倒影的俯角。要求：我们需要确定给定语句是真还是假。解：我们根据题目绘制一个图形，观察后发现，云彩距地面的高度 (h) 远大于云彩在湖中倒影的深度。⇒ h>d [h=云彩的高度，d=倒影的深度 ...] 阅读更多
已知：表达式 \( 2 \sin \theta \) 的值可以是 \( a+\frac{1}{a} \)，其中 \( a \) 是一个正数，且 \( a ≠ 1 \)。要求：我们需要确定给定语句是真还是假。解：a 是一个正数，且 a ≠1这意味着，AM>GM两个数 a 和 b 的算术平均数和几何平均数分别为 (a+b)/2 和 √ab。因此，\frac{a+\frac{1}{a}}{2}>\sqrt{a \times \frac{1}{a}}(a+\frac{1}{a})>22 \sin \theta>2 (2 \sin \theta=a+\frac{1}{a})sin \theta>1这不可能。 [因为 -1 ≤ sin θ ≤ 1]因此，2 sin θ 的值不能是 a+1/a。阅读更多