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已知：$f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6, g(x) = x^2 - 3x + 2$ 求解：我们需要判断多项式 $g(x)$ 是否为多项式 $f(x)$ 的因式。解答：我们知道，如果 $g(x)$ 是 $f(x)$ 的因式，那么余数将为零。$f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ $g(x) = x^2 - 3x + 2$ $x^2-2x-x+2=0$ $x(x-2)-1(x-2)=0$ $(x-1)(x-2)=0$ $x-1=0$ 或 $x-2=0$ $x=1$ 或 $x=2$ 所以，余数将是 $f(1)$ 和 $f(2)$。$f(1) = (1)^3-6(1)^2 +11(1)-6 = 1-6+11-6 =0$ $f(2)=(2)^3-6(2)^2 +11(2)-6 = 8-24+22-6 = 0$ 这意味着 $(x-1)$ 和 $(x-2)$ 是 $f(x)$ 的因式。因此，$g(x)$ 是多项式 $f(x)$ 的因式。阅读更多
已知：给定的多项式是 $x^3 - 3x^2 - 10x + 24$。求解：我们需要证明 $(x - 2), (x + 3)$ 和 $(x - 4)$ 是 $x^3 - 3x^2 - 10x + 24$ 的因式。解答：我们知道，如果 $g(x)$ 是 $f(x)$ 的因式，那么余数将为零。为了检查 $(x - 2), (x + 3)$ 和 $(x - 4)$ 是否是 $x^3 - 3x^2 - 10x + 24$ 的因式，我们必须分别在 $x^3 - 3x^2 - 10x + 24$ 中代入 $x=2, x=-3$ 和 $x=4$。设 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 10x + 24$ $f(2) = (2)^3-3(2)^2 ... 阅读更多
已知：给定的多项式是 $x^3 - 6x^2 - 19x + 84$。求解：我们需要证明 $(x + 4), (x - 3)$ 和 $(x - 7)$ 是 $x^3 - 6x^2 - 19x + 84$ 的因式。解答：我们知道，如果 $g(x)$ 是 $f(x)$ 的因式，那么余数将为零。为了检查 $(x + 4), (x - 3)$ 和 $(x - 7)$ 是否是 $x^3 - 6x^2 - 19x + 84$ 的因式，我们必须分别在 $x^3 - 6x^2 - 19x + 84$ 中代入 $x=-4, x=3$ 和 $x=7$。设 $f(x) = x^3 - 6x^2 - 19x + 84$ $f(-4) = (-4)^3-6(-4)^2 ... 阅读更多
已知：给定的表达式是 $x^3-3x^2+ax-10$。$(x - 5)$ 是 $x^3-3x^2+ax-10$ 的因式。求解：我们需要找到 $a$ 的值。解答：我们知道，如果 $(x-m)$ 是 $f(x)$ 的根，那么 $f(m)=0$。因此，$f(5)=0$ $\Rightarrow (5)^3-3(5)^2+a(5)-10=0$ $\Rightarrow 125-75+5a-10=0$ $\Rightarrow 5a+40=0$ $\Rightarrow 5a=-40$ $\Rightarrow a=\frac{-40}{5}=-8$ $a$ 的值为 $-8$。
已知：给定的表达式是 $5x^3 - 7x^2 - ax - 28$。$(x - 4)$ 是 $5x^3 - 7x^2 - ax - 28$ 的因式。求解：我们需要找到 $a$ 的值。解答：我们知道，如果 $(x-m)$ 是 $f(x)$ 的根，那么 $f(m)=0$。因此，$f(4)=0$ $\Rightarrow 5(4)^3-7(4)^2-a(4)-28=0$ $\Rightarrow 5(64)-7(16)-4a-28=0$ $\Rightarrow 320-112-4a-28=0$ $\Rightarrow 4a=180$ $\Rightarrow a=\frac{180}{4}=45$ $a$ 的值为 $45$。
已知：给定的表达式是 $4x^4 + 2x^3 - 3x^2 + 8x + 5a$。$(x + 2)$ 是 $4x^4 + 2x^3 - 3x^2 + 8x + 5a$ 的因式。求解：我们需要找到 $a$ 的值。解答：我们知道，如果 $(x-m)$ 是 $f(x)$ 的根，那么 $f(m)=0$。$x+2=x-(-2)$ 因此，$f(-2)=0$ $\Rightarrow 4(-2)^4+2(-2)^3-3(-2)^2+8(-2)+5a=0$ $\Rightarrow 4(16)+2(-8)-3(4)+8(-2)+5a=0$ $\Rightarrow 64-16-12-16+5a=0$ $\Rightarrow 5a=-20$ $\Rightarrow a=\frac{-20}{5}=-4$ $a$ 的值为 $-4$。
已知：给定的表达式是 $k^2x^3 - kx^2 + 3kx - k$。$(x - 3)$ 是 $k^2x^3 - kx^2 + 3kx - k$ 的因式。求解：我们需要找到 $k$ 的值。解答：我们知道，如果 $(x-m)$ 是 $f(x)$ 的根，那么 $f(m)=0$。因此，$f(3)=0$ $\Rightarrow k^2(3)^3-k(3)^2+3k(3)-k=0$ $\Rightarrow 27k^2-9k+9k-k=0$ $\Rightarrow 27k^2-k=0$ $\Rightarrow k(27k-1)=0$ $\Rightarrow k=0$ 或 $27k=1$ $\Rightarrow k=0$ 或 $k=\frac{1}{27}$ $k$ 的值为 $0$ 和 $\frac{1}{27}$。
已知：给定的表达式是 $ax^4 + 2x^3 - 3x^2 + bx - 4$。$(x^2 - 4)$ 是 $ax^4 + 2x^3 - 3x^2 + bx - 4$ 的因式。求解：我们需要找到 $a$ 和 $b$ 的值。解答：我们知道，如果 $(x-m)$ 是 $f(x)$ 的根，那么 $f(m)=0$。$x^2-4=x^2-2^2=(x+2)(x-2)$这意味着 $x+2$ 和 $x-2$ 是 $ax^4 + 2x^3 - 3x^2 + bx - 4$ 的因式。因此，$f(-2)=0$ $\Rightarrow a(-2)^4 + 2(-2)^3 - 3(-2)^2 + b(-2) - 4=0$ $\Rightarrow 16a+2(-8)-3(4)-2b-4=0$ $\Rightarrow 16a-2b-16-12-4=0$ $\Rightarrow 16a-2b-32=0$ $\Rightarrow 2(8a-b-16)=0$ $\Rightarrow b=8a-16$........(i) $f(2)=0$ $\Rightarrow a(2)^4 + 2(2)^3 - 3(2)^2 + b(2) - 4=0$ $\Rightarrow 16a+2(8)-3(4)+2b-4=0$ $\Rightarrow 16a+2b+16-12-4=0$ $\Rightarrow 16a+2b=0$ $\Rightarrow 16a+(8a-16)=0$........[From (i)] $\Rightarrow 16a-16=0$ $\Rightarrow 16a=16$ $\Rightarrow a=1$ $\Rightarrow b=8(1)-16$ $\Rightarrow b=8-16=-8$ $a$ 和 $b$ 的值... 阅读更多
已知：给定的表达式是 $x^3 + 3x^2 - 2 \alpha x + \beta$。$x + 1$ 和 $x + 2$ 是 $x^3 + 3x^2 - 2 \alpha x + \beta$ 的因式。求解：我们需要找到 $\alpha$ 和 $\beta$ 的值。解答：我们知道，如果 $(x-m)$ 是 $f(x)$ 的根，那么 $f(m)=0$。$x+1$ 和 $x+2$ 是 $x^3 + 3x^2 - 2 \alpha x + \beta$ 的因式。因此，$f(-1)=0$ $\Rightarrow (-1)^3 + 3(-1)^2 - 2\alpha(-1) + \beta=0$ $\Rightarrow -1+3+2\alpha+\beta=0$ $\Rightarrow \beta=-2\alpha-2$........(i) $f(-2)=0$ $\Rightarrow (-2)^3 + 3(-2)^2 - 2\alpha(-2) + \beta=0$ $\Rightarrow 4\alpha + \beta-8+12=0$ $\Rightarrow 4\alpha -2\alpha-2-8+12=0$ [From (i)] $\Rightarrow 2\alpha+2=0$ $\Rightarrow 2\alpha=-2$ $\Rightarrow \alpha=-1$ $\Rightarrow \beta=-2(-1)-2$ $\Rightarrow \beta=0$ $\alpha$ 和 $\beta$ 的值... 阅读更多
已知：给定的表达式是 $x^3 - 2ax^2 + ax - 1$。$x - 2$ 是 $x^3 - 2ax^2 + ax - 1$ 的因式。求解：我们需要找到 $a$ 的值。解答：我们知道，如果 $(x-m)$ 是 $f(x)$ 的根，那么 $f(m)=0$。因此，$f(2)=0$ $\Rightarrow (2)^3 - 2a(2)^2 + a(2) - 1=0$ $\Rightarrow 8-8a+2a-1=0$ $\Rightarrow 7-6a=0$ $\Rightarrow 6a=7$ $\Rightarrow a=\frac{7}{6}$ $a$ 的值为 $\frac{7}{6}$。