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已知：一个等差数列的第一项和第五项分别为 $-14$ 和 $2$，且各项的和为 $40$。求解：我们需要找到这个等差数列的项数。解：等差数列的第一项为 \( -14 \)，第五项为 \( 2 \)各项的和 \( =40 \)设 \( n \) 为项数。\( a_{5}=2 \)\( \Rightarrow a_{5}=a+(5-1) d \)\( \Rightarrow 2=-14+4 d \)\( \Rightarrow 4 d=14+2=16 \)\( \Rightarrow d=\frac{16}{4}=4 \)我们知道， \( \mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d] \)$40=\frac{n}{2}[2\times(-14)+(n-1)\times4$$40=\frac{2n}{2}[-14+2n-2]$$40=n(2n-16)$$40=2n(n-8)$$20=n^2-8n$$n^2-8n-20=0$\( n(n-10)+2(n-10)=0 \)\( (n-10)(n+2)=0 \)\( n-10=0 \) 或 \( n+2=0 \)\( n=10\) 或 \( n=-2 \) 这是不可能的\( ... 阅读更多
已知：给定的等差数列为 $9, 17, 25, …$求解：我们需要找到需要取多少项才能使它们的和为 636。解：设等差数列的项数为 \( n \)。第一项 \( (a)=9 \)公差 \( (d)=17-9=8 \) 前 \( n \) 项的和 \( =636 \)我们知道，$\mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$$\Rightarrow 636=\frac{n}{2}[2 \times 9+(n-1) \times 8]$$\Rightarrow 1272=n[18+8 n-8]$$\Rightarrow 1272=n(10+8 n)$$\Rightarrow 1272=10 n+8 n^{2}$$\Rightarrow 8 n^{2}+10 n-1272=0$$\Rightarrow 2(4 n^{2}+5 n-636)=0$$\Rightarrow 4 n^{2}+5 n-636=0$$\Rightarrow 4 n^{2}+53 n-48 n-636=0$$\Rightarrow n(4 n+53)-12(4 n+53)=0$$\Rightarrow(4 n+53)(n-12)=0$\( 4 n+53=0 \) 或 \( n-12=0 \)\( n=\frac{-53}{4} \) 这是不可能的 ... 阅读更多
已知：给定的等差数列为 $63, 60, 57, ………$求解：我们需要找到需要取多少项才能使它们的和为 693。解：设项数为 \( n \)。第一项 \( (a)=63 \)公差 \( (d)=60-63=-3 \)我们知道， \( S_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d] \)\( \Rightarrow 693=\frac{n}{2}[2 \times 63+(n-1) \times(-3)] \)\( \Rightarrow 693=\frac{n}{2}[126-3 n+3] \)\( \Rightarrow 1386=n(-3 n+129) \)\( \Rightarrow 1386=-3 n^{2}+129 n \)\( \Rightarrow 3 n^{2}-129 n+1386=0 \)\( \Rightarrow 3(n^{2}-43 n+462)=0 \)\( \Rightarrow n^{2}-43 n+462=0 \)\( \Rightarrow n^{2}-21 n-22 n+462=0 \)\( \Rightarrow n(n-21)-22(n-21)=0 \)\( \Rightarrow(n-21)(n-22)=0 \)这意味着， \( n-21=0 \) 或 \( n-22=0 \) \( n=21 \) ... 阅读更多
已知：给定的等差数列为 $27, 24, 21, …,$求解：我们需要找到需要取多少项才能使它们的和为零。解：这里，第一项 $a=27$公差 $d=24-27=-3$设需要取的项数为 $n$。我们知道，\( \mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d] \)\( 0=\frac{n}{2}[(2 \times 27)+(n-1)(-3)] \)\( 0=n[54-3 n+3] \)\( 0=n[57-3 n] \)$n=0$ 这是不可能的或 \( (57-3 n)=0 \)\( 57=3 n \)\( \therefore n=\frac{57}{3}=19 \)需要取的项数是 19。
已知：给定的等差数列为 $45, 39, 33, …, $求解：我们需要找到需要取多少项才能使它们的和为 180。解：设项数为 \( n \)。第一项 \( (a)=45 \)公差 \( (d)=39-45=-6 \)我们知道， \( S_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d] \)\( \Rightarrow 180=\frac{n}{2}[2 \times 45+(n-1) \times(-6)] \)\( \Rightarrow 180=\frac{n}{2}[90-6n+6] \)\( \Rightarrow 360=n(-6 n+96) \)\( \Rightarrow 6\times60=6(- n^{2}+16 n) \)\( \Rightarrow n^{2}-16 n+60=0 \)\( \Rightarrow n^{2}-10 n-6 n+60=0 \)\( \Rightarrow n(n-10)-6(n-10)=0 \)\( \Rightarrow(n-10)(n-6)=0 \)这意味着， \( n-10=0 \) 或 \( n-6=0 \) \( n=10 \) 或 \( n=6 \)需要取的项数为 ... 阅读更多
已知：给定的等差数列为 $2, 6, 10, 14,…..$求解：我们需要找到这个等差数列的前 11 项的和。解：这里，第一项 \( (a)=2 \)，公差 \( (d)=6-2=4 \)我们知道，\( \therefore \mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d] \)$\mathrm{S}_{11}=\frac{11}{2}[2 \times 2+(11-1) \times 4]$$=\frac{11}{2}[4+10 \times 4]$$=\frac{11}{2}(4+40)$$=\frac{11}{2} \times 44$$=11 \times 22$$=242$给定等差数列的前 11 项的和是 $242$。
已知：给定的等差数列为 $-6, 0, 6, 12,…..$求解：我们需要找到这个等差数列的前 13 项的和。解：这里，第一项 \( (a)=-6 \)，公差 \( (d)=0-(-6)=6 \)我们知道，\( \therefore \mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d] \)$\mathrm{S}_{13}=\frac{13}{2}[2 \times (-6)+(13-1) \times 6]$$=\frac{13}{2}[-12+12 \times 6]$$=\frac{13}{2}(-12+72)$$=\frac{13}{2} \times 60$$=13 \times 30$$=390$给定等差数列的前 13 项的和是 $390$。
已知：一个等差数列的第二项为 2，第四项为 8。求解：我们需要找到这个等差数列的前 51 项的和。解：设等差数列的第一项和公差分别为 $a$ 和 $d$。 我们知道， $a_n=a+(n-1)d$这意味着， $a_2=a+(2-1)d$$2=a+d$$a=2-d$.......(i)$a_4=a+(4-1)d$$8=a+3d$$8=2-d+3d$ (根据 (i))$2d=8-2$$d=\frac{6}{2}$$d=3$\( \therefore a=2-d=2-3=-1 \)我们知道， \( S_{n}=\frac{n}{2}[2 n+(n-1) d] \)\( S_{51}=\frac{51}{2}[2 \times(-1)+(51-1) \times 3] \)\( =\frac{51}{2}[-2+50 \times 3] \)\( =\frac{51}{2}(-2+150) \)\( =\frac{51}{2} \times 148 \)\( =51 \times 74 \)\( =3774 \)这个等差数列的前 51 项的和是 $3774$。阅读更多
已知：8 的前 15 个倍数。求解：我们需要找到 8 的前 15 个倍数的和。解：8 的前 15 个倍数是：$8, 16, 24,......, 104, 112, 120$以上序列是一个等差数列。这里，第一项 $a=8$，公差 $d =16-8=8$，最后一项 $l=120$我们知道，等差数列前 $n$ 项的和 $=\frac{n}{2}(a+l)$$=\frac{15}{2}( 8+120)$$=\frac{15}{2}( 128)$$=15\times64$$=960$因此，8 的前 15 个倍数的和是 960。
**已知：**前 40 个可被 (a) 3 (b) 5 (c) 6 整除的正整数。