求等差数列前 51 项的和：已知该数列的第二项为 2，第四项为 8。

已知

等差数列的第二项为 2，第四项为 8。
要求

求该等差数列前 51 项的和。

解答
设该等差数列的首项和公差分别为 $a$ 和 $d$。

我们知道：

$a_n=a+(n-1)d$

这意味着：

$a_2=a+(2-1)d$

$2=a+d$

$a=2-d$.......(i)

$a_4=a+(4-1)d$

$8=a+3d$

$8=2-d+3d$ (由 (i) 式)

$2d=8-2$

$d=\frac{6}{2}$

$d=3$

因此 \( a=2-d=2-3=-1 \)

我们知道：

\( S_{n}=\frac{n}{2}[2a+(n-1) d] \)
\( S_{51}=\frac{51}{2}[2 \times(-1)+(51-1) \times 3] \)
\( =\frac{51}{2}[-2+50 \times 3] \)
\( =\frac{51}{2}(-2+150) \)
\( =\frac{51}{2} \times 148 \)

\( =51 \times 74 \)

\( =3774 \)

该等差数列前 51 项的和为 3774。

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更新于：2022年10月10日

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