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已知：给定项为 (a) 30 分钟比 1.5 小时 和 (b) 55 帕萨比 1 卢比。要求：我们必须找到给定项的比例。解答：(a) 30 分钟比 1.5 小时。我们知道，1 小时 = 60 分钟，1.5 小时 = 1.5 × 60 分钟 = 90 分钟。这意味着，30 分钟：1.5 小时 = 30 分钟：90 分钟 = 1:3。因此，30 分钟比 1.5 小时的比例是 1:3。(b) 55 帕萨比 1 卢比。我们知道，1 卢比 = 100 帕萨。这意味着，55 帕萨：1 卢比 = 55 帕萨：100 帕萨 = 11:20。因此，55 帕萨比 1 卢比的比例是 11:20。
已知：给定的线性方程组为：$5x\ -\ 4y\ +\ 8\ =\ 0$，$7x\ +\ 6y\ -\ 9\ =\ 0$。要求：我们必须找出表示给定线性方程组的直线是相交、平行还是重合。解答：将给定的线性方程组与线性方程的标准形式 $a_1x+b_1y+c_1=0$ 和 $a_2x+b_2y+c_2=0$ 进行比较，我们得到，$a_1=5, b_1=-4$ 和 $c_1=8$，$a_2=7, b_2=6$ 和 $c_2=-9$。这里，$\frac{a_1}{a_2}=\frac{5}{7}$，$\frac{b_1}{b_2}=\frac{-4}{6}=\frac{-2}{3}$，$\frac{c_1}{c_2}=\frac{8}{-9}$，$\frac{a_1}{a_2} ≠ \frac{b_1}{b_2}$。因此，两条直线在一点相交。阅读更多
已知：给定的线性方程为 $2x\ +\ 3y\ -\ 8\ =\ 0$。要求：我们必须写出另一个二元线性方程，使得所形成的方程组的几何表示为相交直线。解答：设另一个线性方程为 $3x+2y-5=0$。将给定的线性方程组与线性方程的标准形式 $a_1x+b_1y+c_1=0$ 和 $a_2x+b_2y+c_2=0$ 进行比较，我们得到，$a_1=2, b_1=3$ 和 $c_1=-8$，$a_2=3, b_2=2$ 和 $c_2=-5$。这里，$\frac{a_1}{a_2}=\frac{2}{3}$，$\frac{b_1}{b_2}=\frac{3}{2}$，$\frac{c_1}{c_2}=\frac{-8}{-5}=\frac{8}{5}$，$\frac{a_1}{a_2} ≠ \frac{b_1}{b_2}$。因此，与给定直线在一点相交的直线为 $3x+2y-5=0$。阅读更多
已知：某天，2 公斤苹果和 1 公斤葡萄的成本为 160 卢比。一个月后，4 公斤苹果和 2 公斤葡萄的成本为 300 卢比。要求：我们必须用代数和图形方法表示上述情况。解答：设 $x$ 为 1 公斤苹果的成本，$y$ 为 1 公斤葡萄的成本。根据题意，最初 2 公斤苹果和 1 公斤葡萄的成本由下式给出，$2x+y=160$，$\Rightarrow 2x+y-160= 0$.....(i)，$y=160-2x$。4 公斤苹果和 2 公斤葡萄的成本为……阅读更多
已知：给定的二次方程为 $\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}=\frac{5}{6}, x ≠1, -1$。要求：我们必须用因式分解法解给定的二次方程。解答：$\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}=\frac{5}{6}$，$\frac{(x+1)(x+1)-(x-1)(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{5}{6}$，$\frac{x^2+x+x+1-(x^2-x-x+1)}{x^2-1^2}=\frac{5}{6}$，$\frac{x^2+2x+1-x^2+2x-1}{x^2-1}=\frac{5}{6}$，$6(4x)=5(x^2-1)$ (交叉相乘)，$24x=5x^2-5$，$5x^2-24x-5=0$，$5x^2-25x+x-5=0$，$5x(x-5)+1(x-5)=0$，$(5x+1)(x-5)=0$，$5x+1=0$ 或 $x-5=0$，$5x=-1$ 或 $x=5$，$x=-\frac{1}{5}$ 或 $x=5$。给定二次方程的根是 $-\frac{1}{5}$ 和 $5$。阅读更多
已知：给定的二次方程为 $\frac{x-1}{2x+1}+\frac{2x+1}{x-1}=\frac{5}{2}, x ≠-\frac{1}{2},1$。要求：我们必须用因式分解法解给定的二次方程。解答：$\frac{x-1}{2x+1}+\frac{2x+1}{x-1}=\frac{5}{2}$，$\frac{(x-1)(x-1)+(2x+1)(2x+1)}{(2x+1)(x-1)}=\frac{5}{2}$，$\frac{x^2-x-x+1+(4x^2+2x+2x+1)}{2x^2-2x+x-1}=\frac{5}{2}$，$\frac{x^2-2x+1+4x^2+4x+1}{2x^2-x-1}=\frac{5}{2}$，$2(5x^2+2x+2)=5(2x^2-x-1)$ (交叉相乘)，$10x^2+4x+4=10x^2-5x-5$，$4x+5x=-5-4$，$9x=-9$，$x=-1$。$x$ 的值为 -1。
已知：给定的二次方程为 $\frac{4}{x}-3=\frac{5}{2x+3}, x ≠0,\frac{-3}{2}$。要求：我们必须用因式分解法解给定的二次方程。解答：$\frac{4}{x}-3=\frac{5}{2x+3}$，$\frac{4-3(x)}{x}=\frac{5}{2x+3}$，$\frac{4-3x}{x}=\frac{5}{2x+3}$，$(2x+3)(4-3x)=5(x)$ (交叉相乘)，$8x-6x^2+12-9x=5x$，$-6x^2-x+12=5x$，$6x^2+5x+x-12=0$，$6x^2+6x-12=0$，$6(x^2+x-2=0)$，$x^2+x-2=0$，$x^2-2x+x-2=0$，$x(x-2)+1(x-2)=0$，$(x-2)(x+1)=0$，$x-2=0$ 或 $x+1=0$，$x-2=0$ 或 $x+1=0$，$x=2$ 或 $x=-1$。$x$ 的值为 -1 和 2。
已知：给定的二次方程为 $\frac{x-4}{x-5}+\frac{x-6}{x-7}=\frac{10}{3}, x ≠5, 7$。要求：我们必须用因式分解法解给定的二次方程。解答：$\frac{x-4}{x-5}+\frac{x-6}{x-7}=\frac{10}{3}$，$\frac{(x-4)(x-7)+(x-6)(x-5)}{(x-5)(x-7)}=\frac{10}{3}$，$\frac{x^2-4x-7x+28+x^2-6x-5x+30}{x^2-5x-7x+35}=\frac{10}{3}$，$\frac{2x^2-22x+58}{x^2-12x+35}=\frac{10}{3}$，$3(2x^2-22x+58)=10(x^2-12x+35)$ (交叉相乘)，$3\times2(x^2-11x+29)=10(x^2-12x+35)$，$3x^2-33x+87=5x^2-60x+175$，$(5-3)x^2+(-60+33)x+175-87=0$，$2x^2-27x+88=0$，$2x^2-16x-11x+88=0$，$2x(x-8)-11(x-8)=0$，$(2x-11)(x-8)=0$，$2x-11=0$ 或 $x-8=0$，$2x-11=0$ 或 $x-8=0$，$2x=11$ 或 $x=8$，$x=\frac{11}{2}$ 或 $x=8$。$x$ 的值为 $\frac{11}{2}$ 和 $8$。阅读更多
已知：给定的二次方程为 $\frac{x-2}{x-3}+\frac{x-4}{x-5}=\frac{10}{3}, x ≠3, 5$。要求：我们必须用因式分解法解给定的二次方程。解答：$\frac{x-2}{x-3}+\frac{x-4}{x-5}=\frac{10}{3}$，$\frac{(x-2)(x-5)+(x-4)(x-3)}{(x-3)(x-5)}=\frac{10}{3}$，$\frac{x^2-5x-2x+10+x^2-3x-4x+12}{x^2-5x-3x+15}=\frac{10}{3}$，$\frac{2x^2-14x+22}{x^2-8x+15}=\frac{10}{3}$，$3(2x^2-14x+22)=10(x^2-8x+15)$ (交叉相乘)，$3\times2(x^2-7x+11)=10(x^2-8x+15)$，$3x^2-21x+33=5x^2-40x+75$，$(5-3)x^2+(-40+21)x+75-33=0$，$2x^2-19x+42=0$，$2x^2-12x-7x+42=0$，$2x(x-6)-7(x-6)=0$，$(2x-7)(x-6)=0$，$2x-7=0$ 或 $x-6=0$，$2x-7=0$ 或 $x-6=0$，$2x=7$ 或 $x=6$，$x=\frac{7}{2}$ 或 $x=6$。$x$ 的值为 $\frac{7}{2}$ 和 $6$。阅读更多
已知：已知二次方程为 $\frac{5+x}{5-x}-\frac{5-x}{5+x}=3\frac{3}{4}, x ≠5, -5$。 求解：我们必须通过因式分解法求解给定的二次方程。 解：$\frac{5+x}{5-x}-\frac{5-x}{5+x}=3\frac{3}{4}$$\frac{(5+x)(5+x)-(5-x)(5-x)}{(5-x)(5+x)}=\frac{4\times3+3}{4}$$\frac{x^2+5x+5x+25-(x^2-5x-5x+25)}{25-x^2}=\frac{15}{4}$$\frac{x^2-x^2+10x+10x+25-25}{25-x^2}=\frac{15}{4}$$\frac{20x}{25-x^2}=\frac{15}{4}$$4(20x)=15(25-x^2)$ (交叉相乘)$80x=375-15x^2$$15x^2+80x-375=0$$3x^2+16x-75=0$$3x^2+25x-9x-75=0$$x(3x+25)-3(3x+25)=0$$(3x+25)(x-3)=0$$3x+25=0$ 或 $x-3=0$$3x=-25$ 或 $x=3$$x=-\frac{25}{3}$ 或 $x=3$x的值为$-\frac{25}{3}$ 和 $3$。阅读更多