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已知：给定方程为 $x^2-x(a+b)+k=0$。求解：我们需要找到使 $x=a$ 为 $x^2-x(a+b)+k=0$ 的解的 k 的值。解：如果 $x=m$ 是 $f(x)$ 的解，则 $f(m)=0$。因此，对于 $x=a$，$x^2-x(a+b)+k=0$，$(a)^2-a(a+b)+k=0$，$a^2-a^2-ab+k=0$，$k=ab$。k 的值为 $ab$。
已知：给定方程为 $kx^2+\sqrt{2}x-4=0$。求解：我们需要找到使 $x=\sqrt{2}$ 为 $kx^2+\sqrt{2}x-4=0$ 的解的 k 的值。解：如果 $x=m$ 是 $f(x)$ 的解，则 $f(m)=0$。因此，对于 $x=\sqrt{2}$，$kx^2+\sqrt{2}x-4=0$，$k(\sqrt{2})^2+\sqrt{2}(\sqrt{2})-4=0$，$2k+2-4=0$，$2k-2=0$，$2k=2$，$k=1$。k 的值为 $1$。
已知：给定方程为 $x^2+3ax+k=0$。求解：我们需要找到使 $x=-a$ 为 $x^2+3ax+k=0$ 的解的 k 的值。解：如果 $x=m$ 是 $f(x)$ 的解，则 $f(m)=0$。因此，对于 $x=-a$，$x^2+3ax+k=0$，$(-a)^2+3a(-a)+k=0$，$a^2-3a^2+k=0$，$-2a^2+k=0$，$k=2a^2$。k 的值为 $2a^2$。
已知：给定方程为 $\sqrt{x^2-4x+3} + \sqrt{x^2-9} = \sqrt{4x^2-14x+16}$。求解：这里，我们需要确定 3 是否是给定方程的根。解：对于 $x=3$，左侧 $\sqrt{x^2-4x+3} + \sqrt{x^2-9} = \sqrt{(3)^2-4(3)+3} + \sqrt{(3)^2-9}$ $= \sqrt{9-12+3} + \sqrt{9-9}$ $=0$，右侧 $\sqrt{4x^2-14x+16}=\sqrt{4(3)^2-14(3)+16}$ $=\sqrt{36-42+16}$ $=\sqrt{10}$。左侧$≠$右侧，因此，$x=3$ 不是给定方程的解。
已知：给定方程为 $ax^2+7x+b=0$。求解：如果 $x=\frac{2}{3}$ 和 $x=-3$ 是给定方程的根，我们需要找到 a 和 b 的值。解：如果 $x=m$ 是 $f(x)$ 的根，则 $f(m)=0$。对于 $x=\frac{2}{3}$，$ax^2+7x+b=0$，$a(\frac{2}{3})^2+7(\frac{2}{3})+b=0$，$\frac{4}{9}a+\frac{14}{3}+b=0$，$9(\frac{4}{9}a)+9(\frac{14}{3})+9(b)=9(0)$ （两边乘以 $9$） $4a+42+9b=0$。设其为方程 (1)。对于 $x=-3$，$ax^2+7x+b=0$，$a(-3)^2+7(-3)+b=0$，$9a-21+b=0$。设其为方程 (2)。解方程 (1) 和 (2)，得到，$(4a+42+9b=0)-9(9a-21+b=0)$，$4a-81a+42+189+9b-9b=0$，$-77a+231=0$，$77a=231$，$a=\frac{231}{77}$，$a=3$。将 $a=3$ 代入方程 (1)，得到，$4(3)+42+9b=0$，$12+42+9b=0$，$9b=-54$，$b=\frac{-54}{9}$，$b=-6$。a 和 b 的值分别为 3 和 -6。阅读更多
已知：两个连续正整数的乘积为 306。求解：这里，我们需要构造二次方程。解：设这两个连续整数为 x 和 x+1，其中 x 为较小的整数。因此，$x(x + 1) = 306$，$x^2 + x – 306 = 0$。所需的二次方程为 $x^2 + x – 306 = 0$。
已知：John 和 Jivani 一共拥有 45 颗弹珠。他们两人各自丢失了 5 颗弹珠，现在他们拥有的弹珠数量的乘积为 128。求解：这里，我们需要构造二次方程来求他们最初拥有的弹珠数量，如果 John 有 x 颗弹珠。 解：John 的弹珠数量 $=x$，Jivani 的弹珠数量 $=45-x$。John 丢失 5 颗弹珠后剩下的弹珠数量 $= x - 5$，Jivani 丢失 5 颗弹珠后剩下的弹珠数量 $=(45 - x) - 5 = 40 - x$。他们现在拥有的弹珠数量的乘积 $=128$。因此，$(x ... 阅读更多
已知：一家家庭手工业每天生产一定数量的玩具。每个玩具的生产成本（以卢比计）被发现为 55 减去当天生产的产品数量。在特定的一天，总生产成本为 750 卢比。x 表示那天生产的玩具数量。求解：这里，我们需要构造二次方程来求 x。 解：每个玩具的生产成本 $= 55 - x$，总生产成本是当天生产的玩具数量和每个玩具的生产成本的乘积… 阅读更多
已知：一个直角三角形的高比底短 7 厘米。斜边为 13 厘米。求解：我们需要构造二次方程来求三角形的底。解：设底的长度为 x 厘米。三角形的高 $=x-7$ 厘米。根据勾股定理，$(x)^2+(x-7)^2=(13)^2$，$x^2+x^2+49-14x=169$，$2x^2-14x+49-169=0$，$2x^2-14x-120=0$，$x^2-7x-60=0$，$x^2-12x+5x-60=0$，$x(x-12)+5(x-12)=0$，$(x-12)(x+5)=0$，$x=12$ 或 $x=-5$。长度不能为负。因此，$x=12$ 厘米。所需的方程是 $x^2-7x-60=0$，底的长度是 12 厘米，三角形的高是 $(12-7)=5$ 厘米。阅读更多
已知：一列特快列车比一列客车少用 1 小时行驶在迈索尔和班加罗尔之间的 132 公里。特快列车的平均速度比客车快 11 公里/小时。求解：我们需要构造二次方程来求特快列车的平均速度。解：设特快列车的平均速度为 x 公里/小时。这意味着，客车的平均速度为 x-11 公里/小时。特快列车行驶 132 公里所需的时间$=\frac{132}{x}$ 小时。客车行驶 132 公里所需的时间$=\frac{132}{x-11}$ 小时。因此，$\frac{132}{x-11}-\frac{132}{x}=1$，$\frac{132x-132(x-11)}{x(x-11)}=1$，$132x-132x+132(11)=1(x^2-11x)$，$x^2-11x-1452=0$。所需的方程是 $x^2-11x-1452=0$。阅读更多