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已知：圆心为 O，半径为 $r=OA$ 的圆，以及在点 A 上的切线 P。需要做：证明 $OA\bot P$ 证明：在切线 P 上取一点 B，该点不同于点 A。连接 OB。假设 OB 与圆相交于点 C。证明：我们知道，在连接点 O 与切线 P 上任意一点的所有线段中，垂直于 P 的线段最短 OA $=$ OC $( 同圆半径)$ 现在，$OB=\ OC\ +\ BC.\ $ $\Rightarrow ... 阅读更多
已知：一座垂直塔，以及从塔顶观察到两辆汽车的俯角 $\angle ABC=45^{o}$ 和 $\angle ADC=60^{o}$，两辆汽车之间的距离 $BD=100$。需要做：求塔的高度。解：假设 AC 是塔。B、D 是汽车所在的位置。根据题意，汽车之间的距离，$BD=100\ $米 $\angle ABC=45^{o} \ 和\ \angle ADC=60^{o}$ 在 $\vartriangle ADC$ 中，$\ tan60^{o} =\frac{AC}{DC} =\sqrt{3}$ $\left( \because \ tan60^{o} ... 阅读更多
已知：一个圆台形开口牛奶桶，其高 h= 21 厘米，上下底面半径分别为 $\ r=10\ cm\ $和$\ R=20\ cm$，牛奶价格为每升 30 元。需要做：求完全装满该桶的牛奶的总成本。解：我们知道，圆台的体积，上下底面半径分别为 r 和 R，高为 h，$\ =\frac{\pi }{3} \ h( r^{2}+R^{2}+rR)$ 这里下底面半径，$\ r=10\ cm$ 上底面半径，$R=20\ cm$ 桶的高度，$h=21\ ... 阅读更多
已知：连接点 $A( -5, \ 8)$ 和 $B( 4, \ -10)$ 的线段 AB，以及点 $P( x, \ 4)$ 需要做：求 P 分割线段 AB 的比值，并求 x 的值。解：假设点 $P( x, \ 4)$ 将线段 AB 分割成 m:n。我们知道，如果有一条线段连接两个点 $\ A( x_{1} ,\ y_{1}) \ $和 $B( x_{2} ,\ y_{2})$，并且如果有一点 $\ P( x, \ y)$ 位于线段上 ... 阅读更多
已知：一个四边形 ABCD，其中 $A( -3, \ -1) ,\ B( -2, \ -4) ,\ C( 4, \ -1)$ 和 $D( 3, \ 4)$ 需要做：求四边形 ABCD 的面积。解：如图所示，ABCD 是给定的四边形。四边形 $ABCD$ 的面积 $=area( ΔABC) +area( ΔADC)$ 我们知道，顶点为 $( x_{1} ,\ y_{1})$，$( x_{2}, y_{2})$ 和 $( x_{3}, y_{3})$ 的三角形的面积 $\frac{1}{2}[ x_{1}( y_{2} -y_{3}) +x_{2}( y_{3} -y_{1}) +x_{3}( y_{1} -y_{2})]$ 如图所示，我们找到顶点 $A( 1, \ 3) ,\ ... 阅读更多
已知：半径为 14 厘米的圆，以及在圆心处所对的圆心角为 $120^{o}$ 的弦。需要做：求该圆的劣弧段的面积。解：假设有一个圆心为 O 的圆，AB 是给定的弦，如图所示。已知圆的半径，$r=14\ cm$ 弦 AB 所对的圆心角，$\angle AOB=120^{o}$。首先，我们将求出扇形 $AOB$ 的面积，然后求出三角形 $\vartriangle AOB$ 的面积。扇形 $AOB$ 的面积 $=\frac{\theta }{360^{o}} \pi r^{2}$ 这里 $\theta=120^{o}$ 和 $\ r=14\ cm$ $=\frac{120^{o}}{360^{o}} \times ... 阅读更多
**已知：**圆的半径为 3 厘米。**求作：**画一对互相倾斜 60° 的圆的切线。**解：**请按照以下步骤绘制所需的图形。1. 以 O 为圆心，画一个半径为 3 厘米的圆。2. 切线互相倾斜的角度为 60°。如果 PA 和 PB 是圆的所需切线，则∠APB=60°，并且 AOBP 是一个圆内接四边形，则∠AOB=180° -60° =120°。3. 在圆周上取一点 A，在点 O 处画一个与 OA 成 120° 的角……阅读更多
**已知：**两个正方体，每个正方体的体积为 27 cm³。**求：**将两个正方体首尾相接后所得长方体的表面积。**解：**设所给正方体的边长为 a。已知体积为 27 cm³。∴ a³ = 27 ⇒ a = ³√(27) = ³√(3×3×3) = 3 cm ∵ 两个正方体的体积相同 ∴ 两个正方体的边长也相同。当它们首尾相接时，所得长方体的长度加倍，但高和宽保持不变。……阅读更多
**已知：**两点 A(3, -1) 和 B(11, y)，两点之间的距离 = 10 个单位。**求：**y 的值。**解：**我们知道，如果两点为 (x₁, y₁) 和 (x₂, y₂)，则两点之间的距离为：=√((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)。这里，代入 A(3, -1) 和 B(11, y) 的值，以及 AB = 10 个单位√((3 - 11)² + (-1 - y)²) = 10 ⇒ √((-8)² + (-(1 + y)²) ) = 10 ⇒ √(64 + (1 + y)²) = 10 ⇒ 64 + (1 + y)² = 10² ⇒ (1 + y)² = 100 - 64 = 36 ⇒ 1 + y = ±√…阅读更多
**已知：**一个装有编号为 1 到 40 的票的袋子。**求：**所选票的号码是 5 的倍数的概率。**解：**从 1 到 40，5 的倍数有 5、10、15、20、25、30、35、40。共有 8 个 5 的倍数。∴ 有利结果数 = 8 ∴ 总可能结果数 = 40 当从袋子里抽取一张票时，所选票的号码是 5 的倍数的概率 = 有利结果数 / 总可能结果数 = 5/40 = 1/8