三角傅里叶级数 周期函数可以在一定的时间区间内用正交函数的线性组合来表示。如果这些正交函数是三角函数，则称为三角傅里叶级数。数学上，周期信号的标准三角傅里叶级数展开式为： $$\mathrm{x(t)=a_{0}+ \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\:cos\:\omega_{0}nt+b_{n}\:sin\:\omega_{0}nt\:\:… (1)}$$指数傅里叶级数 周期函数可以在一定的时间区间内用正交函数的线性组合来表示，如果这些正交函数是指数函数，则称为指数傅里叶级数。数学上，周期... 阅读更多

傅里叶变换 连续时间函数 $x(t)$ 的傅里叶变换定义为： $$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$逆傅里叶变换 连续时间函数的逆傅里叶变换定义为： $$\mathrm{x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d\omega}$$傅里叶变换的性质 连续时间傅里叶变换 (CTFT) 具有许多重要的性质。这些性质可用于推导傅里叶变换对，以及推导出一般的频域关系。这些性质还有助于找到各种时域运算对频域的影响。连续时间傅里叶变换的一些重要性质如下表所示：CTFT 的性质时域 x(t)频域 X(ω)线性性质$ax_{1}(t)+bx_{2}(t)$$aX_{1}(\omega)+bX_{2}(\omega)$时移... 阅读更多

傅里叶级数 如果 $x(t)$ 是一个周期为 $T$ 的周期函数，则该函数的连续时间指数傅里叶级数定义为： $$\mathrm{x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\:e^{jn\omega_{0} t}\:\:… (1)}$$其中，$C_{n}$ 是指数傅里叶级数系数，由下式给出： $$\mathrm{C_{n}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x(t)e^{-jn\omega_{0} t}dt\:\:… (2)}$$调制或乘法性质 设 $x_{1}(t)$ 和 $x_{2}(t)$ 是两个周期为 $T$ 的周期信号，其傅里叶级数系数分别为 $C_{n}$ 和 $D_{n}$。如果$$\mathrm{x_{1}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$$$\mathrm{x_{2}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}D_{n}}$$则连续时间傅里叶级数的调制或乘法性质指出：$$\mathrm{x_{1}(t)\cdot x_{2}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}\sum_{k=−\infty}^{\infty}C_{k}\:D_{n-k}}$$证明 从连续时间傅里叶级数的定义，我们得到： $$\mathrm{FS[x_{1}(t)\cdot x_{2}(t)]=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}[x_{1}(t)\cdot x_{2}(t)]e^{-jn\omega_{0} t}dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:FS[x_{1}(t)\cdot x_{2}(t)]=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x_{1}(t)\left (\sum_{k=−\infty}^{\infty} C_{k} e^{jk\omega_{0} t}\right )e^{-jn\omega_{0} t}dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:FS[x_{1}(t)\cdot x_{2}(t)]=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x_{1}(t)\left (\sum_{k=−\infty}^{\infty} C_{k} e^{-j(n-k)\omega_{0} t}\right )e^{-jn\omega_{0} ... 阅读更多

傅里叶变换 连续时间函数 $x(t)$ 的傅里叶变换可以定义为： $$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$傅里叶变换的调制性质 陈述 - 连续时间傅里叶变换的调制性质指出，如果连续时间函数 $x(t)$ 乘以 $cos \:\omega_{0} t$，则其频谱在频率上向上和向下移动 $\omega_{0}$。因此，如果$$\mathrm{x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega)}$$则根据 CTFT 的调制性质，$$\mathrm{x(t)\:cos\:\omega_{0}t\overset{FT}{\leftrightarrow}\frac{1}{2}[X(\omega-\omega_{0})+X(\omega+\omega_{0})]}$$证明 使用欧拉公式，我们得到： $$\mathrm{cos\:\omega_{0}t=\left [\frac{e^{j\omega_{0} t}+e^{-j\omega_{0} t}}{2} \right ]}$$因此， $$\mathrm{x(t)\:cos\:\omega_{0}t=x(t)\left [ \frac{e^{j\omega_{0} t}+e^{-j\omega_{0} t}}{2}\right ]}$$现在，根据傅里叶变换的定义，我们有： $$\mathrm{F[x(t)]=X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega_{0} t} \:dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:F[x(t)\:cos\:\omega_{0} t]=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)\:cos\:\omega_{0} t\:e^{-j\omega_{0} t}dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:F[x(t)\:cos\:\omega_{0} t]=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)\left [ \frac{e^{j\omega_{0} t}+e^{-j\omega_{0} t}}{2}\right ]e^{-j\omega t}dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:F[x(t)\:cos\:\omega_{0} ... 阅读更多

傅里叶变换 对于连续时间函数 $x(t)$，傅里叶变换可以定义为： $$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$傅里叶变换的线性性质 陈述 - 傅里叶变换的线性性质指出，两个信号的加权和的傅里叶变换等于它们各自傅里叶变换的加权和。因此，如果$$\mathrm{x_{1}(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X_{1}(\omega)\:\:and\:\:x_{2}\overset{FT}{\leftrightarrow}X_{2}(\omega)}$$则根据傅里叶变换的线性性质，$$\mathrm{ax_{1}(t)+bx_{2}(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}aX_{1}(\omega)+bX_{2}(\omega)}$$其中，a 和 b 是常数。证明 根据傅里叶变换的定义，我们有： $$\mathrm{F[x(t)]=X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j \omega t}dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=F[ax_{1}(t)+bx_{2}(t)]=\int_{−\infty}^{\infty}[ax_{1}(t)+bx_{2}(t)]e^{-j \omega t}dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}ax_{1}(t)e^{-j \omega t} dt+\int_{−\infty}^{\infty}bx_{2}(t)e^{-j \omega t}dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=a\int_{−\infty}^{\infty}x_{1}(t)e^{-j \omega t} dt+b\int_{−\infty}^{\infty}x_{2}(t)e^{-j \omega t}dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=aX_{1}(\omega)+bX_{2}(\omega)}$$$$\mathrm{\therefore\:F[ax_{1}(t)+bx_{2}(t)]=aX_{1}(\omega)+bX_{2}(\omega)}$$或者，它也可以写成： $$\mathrm{ax_{1}(t)+bx_{2}(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}aX_{1}(\omega)+bX_{2}(\omega)}$$傅里叶变换的频移性质 陈述 - ... 阅读更多

傅里叶级数 如果 $x(t)$ 是一个周期为 $T$ 的周期函数，则该函数的连续时间指数傅里叶级数定义为： $$\mathrm{x(t)=\displaystyle\sum\limits_{n=−\infty}^\infty\:C_{n}\:e^{jn\omega_{0}t}\:\:\:… (1)}$$其中，$C_{n}$ 是指数傅里叶级数系数，由下式给出： $$\mathrm{C_{n}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}X(t)e^{-jn\omega_{0}t}\:dt\:\:… (2)}$$连续时间傅里叶级数的线性性质 考虑两个周期为 T，傅里叶级数系数分别为 $C_{n}$ 和 $D_{n}$ 的周期信号 $x_{1}(t)$ 和 $x_{2}(t)$。如果$$\mathrm{x_{1}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$$$\mathrm{x_{2}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}D_{n}}$$则连续时间傅里叶级数的线性性质指出：$$\mathrm{Ax_{1}(t)+Bx_{2}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}AC_{n}+BD_{n}}$$证明 根据周期函数傅里叶级数的定义，我们得到： $$\mathrm{FS[Ax_{1}(t)+Bx_{2}(t)]=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}[Ax_{1}(t)+Bx_{2}(t)]e^{-jn\omega_{0}t}\:dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:FS[Ax_{1}(t)+Bx_{2}(t)]=A\left ( \frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}\:x_{1}(t)\:e^{-jn\omega_{0}t}\:dt\right )+B\left ( \frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}\:x_{2}(t)\:e^{-jn\omega_{0}t}\:dt \right )\:\:… (3)}$$比较公式 (2) 和 (3)，... 阅读更多

什么是吉布斯现象？ 吉布斯现象由亨利·威尔布拉姆于 1848 年发现，然后由 J. 威拉德·吉布斯于 1899 年重新发现。对于具有不连续性的周期信号，如果通过添加傅里叶级数来重建信号，则会在边缘附近出现过冲。这些过冲以阻尼振荡的方式从边缘向外衰减。这被称为吉布斯现象，如下图所示。不连续处的过冲量与不连续的高度成正比，根据吉布斯的说法，发现它约为不连续高度的 9%，而与... 阅读更多

傅里叶变换连续时间函数的傅里叶变换可以定义为：

傅里叶变换对于连续时间函数 $x(t)$，傅里叶变换定义为：