傅里叶变换 连续时间函数$x(t)$的傅里叶变换定义为：$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$双边实指数函数的傅里叶变换 设一个双边实指数函数为：$$\mathrm{x(t)=e^{-a|t|}}$$双边实指数函数定义为：$$\mathrm{e^{-a|t|}=\begin{cases}e^{at} & for\:t ≤ 0\e^{-at} & for\:t ≥ 0 \end{cases} =e^{at}u(-t)+e^{-at}u(t) }$$其中，函数$u(t)$和$u(-t)$分别是单位阶跃函数和时间反转单位阶跃函数。根据傅里叶变换的定义，我们有：$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt=\int_{−\infty}^{\infty}e^{-a|t|}e^{-j\omega t}dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}[e^{at}u(-t)+e^{-at}u(t)]e^{-j\omega t}dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{−\infty}^{0}e^{at}e^{-j\omega t}dt+\int_{0}^{\infty}e^{-at}e^{-j\omega t}dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{-\infty}^{0}e^{(a-j\omega)t}dt+\int_{0}^{\infty}e^{-(a+j\omega)t}dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{0}^{\infty}e^{-(a-j\omega)t}dt+\int_{0}^{\infty}e^{-(a+j\omega)t}dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\left[\frac{e^{-(a-j\omega)t}}{-(a-j\omega)}\right]_{0}^{\infty}+\left[\frac{e^{-(a+j\omega)t}}{-(a+j\omega)}\right]_{0}^{\infty}=\left[\frac{e^{-\infty}-e^{0}}{-(a-j\omega)} \right]+\left[\frac{e^{-\infty}-e^{0}}{-(a+j\omega)} \right]}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\frac{1}{a-j\omega}+\frac{1}{a+j\omega}=\frac{2a}{a^{2}+\omega^{2}}}$$因此，双边实指数函数的傅里叶变换为：$$\mathrm{F[e^{-a|t|}]=X(\omega)=\frac{2a}{a^{2}+\omega^{2}}}$$或者，也可以表示为：$$\mathrm{e^{-a|t|}\overset{FT}{\leftrightarrow}\frac{2a}{a^{2}+\omega^{2}}}$$幅度... 阅读更多

傅里叶变换 连续时间函数$x(t)$的傅里叶变换定义为：$$\mathrm{x(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t }dt}$$正弦函数的傅里叶变换 设$$\mathrm{x(t)=sin\:\omega_{0} t}$$根据欧拉公式，我们有：$$\mathrm{x(t)=sin\:\omega_{0} t=\left[\frac{ e^{j\omega_{0} t}- e^{-j\omega_{0} t}}{2j} \right]}$$根据傅里叶变换的定义，我们有：$$\mathrm{F[sin\:\omega_{0} t]=X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt=\int_{−\infty}^{\infty}sin\:\omega_{0}\: t\: e^{-j\omega t}dt}$$$$\mathrm{ \Rightarrow\:X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}\left[ \frac{e^{j\omega_{0} t}-e^{-j\omega_{0} t}}{2j}\right] e^{-j\omega t}dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\frac{1}{2j}\left[ \int_{−\infty}^{\infty}e^{j\omega_{0} t}e^{-j\omega t} dt-\int_{−\infty}^{\infty} e^{-j\omega_{0} t}e^{-j\omega t} dt\right]}$$$$\mathrm{=\frac{1}{2j}\{F[e^{j\omega_{0} t}] -F[e^{-j\omega_{0} t}]\}}$$由于复指数函数的傅里叶变换由下式给出：$$\mathrm{F[e^{j\omega_{0} t}]=2\pi\delta(\omega-\omega_{0})\:\:and\:\:F[e^{-j\omega_{0} t}]=2\pi\delta(\omega+\omega_{0})}$$$$\mathrm{ \therefore\:X(\omega)=\frac{1}{2j}[2\pi\delta(\omega-\omega_{0})-2\pi\delta(\omega+\omega_{0})]}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=-j\pi[\delta(\omega-\omega_{0})-\delta(\omega+\omega_{0})]}$$因此，正弦波的傅里叶变换为：$$\mathrm{F[sin\:\omega_{0}\:t]=-j\pi[\delta(\omega-\omega_{0})-\delta(\omega+\omega_{0})]}$$或者，也可以表示为：$$\mathrm{sin\:\omega_{0}\:t\overset{FT}{\leftrightarrow}-j\pi[\delta(\omega-\omega_{0})-\delta(\omega+\omega_{0})]}$$正弦函数的图形表示... 阅读更多

傅里叶变换 连续时间函数$x(t)$的傅里叶变换定义为：$$\mathrm{X(\omega)= \int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$单边实指数函数的傅里叶变换 单边实指数函数定义为：$$\mathrm{x(t)=e^{-a t}u(t)}$$其中，$u(t)$是单位阶跃信号，定义为：$$\mathrm{u(t)=\begin{cases}1 & for\:t≥ 0 \0 & for\:t < 0 \end{cases}}$$根据傅里叶变换的定义，我们有：$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt=\int_{−\infty}^{\infty}e^{-at}u(t)e^{-j\omega t}dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{0}^{\infty}e^{-at}e^{-j\omega t}dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{0}^{\infty}e^{-(a+j\omega)t} dt=\left[\frac{e^{-(a+j\omega)t}}{-(a+j\omega)} \right]_{0}^{\infty}}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\frac{1}{-(a+j\omega)}[e^{-\infty}-e^{0}]=\frac{0-1}{-(a+j\omega)}=\frac{1}{a+j\omega}}$$因此，单边实指数函数的傅里叶变换为：$$\mathrm{F[e^{-at}u(t)]=\frac{1}{a+j\omega}}$$或者，也可以表示为：$$\mathrm{e^{-at}u(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}\frac{1}{a+j\omega}}$$单边实指数函数的傅里叶变换的幅度和相位表示 单边实指数函数的... 阅读更多

傅里叶变换 连续时间函数$x(t)$的傅里叶变换定义为：$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$符号函数的傅里叶变换 符号函数用$sgn(t)$表示，定义为$$\mathrm{sgn(t)=\begin{cases}1 & for\:t>0\-1 & for\:t

傅里叶变换 连续时间函数$x(t)$的傅里叶变换定义为：$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}\:dt}$$矩形函数的傅里叶变换 考虑图1所示的矩形函数。它定义为：$$\mathrm{rect\left(\frac{t}{τ}\right)=\prod\left(\frac{t}{τ}\right)=\begin{cases}1 & for\:|t|≤ \left(\frac{τ}{2}\right)\0 & otherwise\end{cases}}$$已知$$\mathrm{x(t)=\prod\left(\frac{t}{τ}\right)}$$因此，根据傅里叶变换的定义，我们有：$$\mathrm{F\left[\prod\left(\frac{t}{τ}\right) \right]=X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}\:dt=\int_{−\infty}^{\infty}\prod\left(\frac{t}{τ}\right)e^{-j\omega t}\:dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{−(τ/2)}^{(τ/2)}1\cdot e^{-j\omega t}\:dt=\left[\frac{e^{-j\omega t}}{-j\omega} \right]_{-τ/2}^{τ/2}}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\left[ \frac{e^{-j\omega (τ/2)}-e^{j\omega (τ/2)}}{-j\omega}\right]=\left[ \frac{e^{j\omega (τ/2)}-e^{-j\omega (τ/2)}}{j\omega }\right]}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\left[ \frac{2τ[e^{j\omega (τ/2)}-e^{-j\omega (τ/2)}]}{j\omega\cdot (2τ) }\right]=\frac{τ}{\omega(τ/2)}\left[\frac{e^{j\omega (τ/2)}-e^{-j\omega (τ/2)}}{2j} \right]}$$$$\mathrm{\because \:\left[\frac{e^{j\omega (τ/2)}-e^{-j\omega (τ/2)}}{2j} \right]=sin\:\omega (τ/2)}$$$$\mathrm{\therefore\:X(\omega)=\frac{τ}{\omega(τ/2)}\cdot sin \omega (τ/2)=τ \left[\frac{sin\omega (τ/2)}{\omega (τ/2)}\right]}$$$$\mathrm{\because\:sinc \left(\frac{\omega τ}{2}\right)=\frac{sin\omega (τ/2)}{\omega (τ/2)}}$$$$\mathrm{\therefore\:X(\omega)=τ\cdot sinc \left(\frac{\omega τ}{2}\right)}$$因此，矩形函数的傅里叶变换为$$\mathrm{F\left[\prod\left(\frac{t}{τ}\right)\right]=τ\cdot sinc \left(\frac{\omega τ}{2}\right)}$$或者，它也可以... 阅读更多

傅里叶变换 连续时间函数$x(t)$的傅里叶变换定义为：$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)\:e^{-j\omega t}dt}$$三角脉冲的傅里叶变换 图1所示为三角信号 −它定义为：$$\mathrm{\Delta \left(\frac{t}{τ}\right)=\begin{cases}\left( 1+\frac{2t}{τ}\right); & for\:\left(-\frac{τ}{2}\right)

频率为$0, \omega_{0}, 2\omega_{0}, 3\omega_{0}, ....k\omega_{0}$的正弦和余弦项的无穷级数称为三角傅里叶级数，可以写成：$$\mathrm{x(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\:cos\:n\omega_{0} t+b_{n}\:sin\:n\omega_{0} t… (1)}$$这里，常数$a_{0}, a_{n}$和$b_{n}$称为三角傅里叶级数系数。$a_{0}$的计算 为了计算系数$a_{0}$，我们将方程(1)两边在一个周期内积分，即：$$\mathrm{\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}x(t)\:dt=a_{0}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}dt+\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}\left(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\:cos\:n\omega_{0} t+b_{n}\:sin\:n\omega_{0} t\right)dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}x(t)\:dt=a_{0}T+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}cos\:n\omega_{0} t\:dt+\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}sin\:n\omega_{0} t\:dt… (2)}$$我们知道，对于任何非零整数n和任何时间$t_{0}$，正弦曲线在一个完整周期内的净面积为零。因此，$$\mathrm{\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}cos\:n\omega_{0} t\:dt=0\:\:and\:\:\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}sin\:n\omega_{0} t\:dt=0}$$因此，从方程(2)中，我们得到：$$\mathrm{\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}x(t)\:dt=a_{0}T}$$$$\mathrm{\therefore\:a_{0}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}x(t)\:dt… (3)}$$使用公式(3)，... 阅读更多

什么是傅里叶级数？在工程领域，大多数现象都是周期性的，例如交流电流和电压。这些周期函数可以通过分解成它们的组成部分来进行分析，这个过程称为傅里叶级数。因此，傅里叶级数可以定义如下： “在一定时间间隔内，用正交函数（即正弦和余弦函数）的线性组合表示周期信号的过程称为傅里叶级数。”傅里叶级数仅适用于周期信号，即在$(-\infty\:to\:\infty)$区间内周期性重复的信号，并且... 阅读更多

傅里叶余弦级数是三角傅里叶级数的另一种形式。傅里叶余弦级数也称为极坐标形式傅里叶级数或谐波形式傅里叶级数。函数x(t)的三角傅里叶级数包含相同频率的正弦和余弦项。也就是说，$$\mathrm{x(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\:cos\:n\omega_{0} t+b_{n}\:sin\:n\omega_{0} t… (1)}$$其中，$$\mathrm{a_{0}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}x(t)\:dt}$$$$\mathrm{a_{n}=\frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}x(t)\:cos\:n\omega_{0} t\:dt}$$$$\mathrm{b_{n}=\frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}x(t)\:sin\:n\omega_{0} t\:dt}$$在方程(1)中，将正弦和余弦项的分子和分母乘以($\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}$)，我们得到：$$\mathrm{x(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}\left( \sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}\right)\left( \frac{a_{n}}{\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}cos\:n\omega_{0} t+\frac{b_{n}}{\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}sin\:n\omega_{0} t\right)… (2)}$$将方程(2)中的值设为：$$\mathrm{a_{0}=A_{0}}$$$$\mathrm{\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}=A_{n}… (3)}$$$$\mathrm{\frac{a_{n}}{\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}=cos\:\theta_{n}\:\:and\:\:\frac{b_{n}}{\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}=-sin\:\theta_{n}}$$我们得到：$$\mathrm{x(t)=A_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}(cos\:\theta_{n}\:cos\:n\omega_{0} t-sin\:\theta_{n}\:sin\:n\omega_{0} t)}$$$$\mathrm{\Rightarrow\:x(t)=A_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\:cos(n\omega_{0} t+\theta_{n})… (4)}$$其中，$$\mathrm{\theta_{n}=-tan^{-1} \left(\frac{b_{n}}{a_{n}}\right)… (5)}$$这... 阅读更多

四分之一波对称性
如果一个周期函数 x(t) 具有奇对称性或偶对称性以及半波对称性，则称其具有四分之一波对称性。数学上，如果一个周期函数 x(t) 满足以下条件，则称其具有四分之一波对称性：
$$x(t) = x(-t) \quad 或 \quad x(t) = -x(-t) \quad 且 \quad x(t) = -x\left(t ± \frac{T}{2}\right)$$图1显示了一些具有四分之一波对称性的周期函数示例。
具有四分之一波对称性的函数的傅里叶级数系数计算如下：
情况一 - 当 n 为奇数时
$$x(t) = -x(-t) \quad 且 \quad x(t) = -x\left(t ± \frac{T}{2}\right)$$
对于这种情况，
$$a_{0} = 0 \quad 且 \quad a_{n} = 0$$
并且，
$$b_{n} = \frac{8}{T} \int_{0}^{T/4} x(t) \sin n\omega_{0} t \, dt$$情况二 - 当 n 为偶数时
$$x(t) = x(-t) \quad 且 \quad x(t) = -x\left(t ± \frac{T}{2}\right) ... 阅读更多