希尔伯特变换 当信号所有正频率谱分量的相位角移位 (-90°)，所有负频率谱分量的相位角移位 (+90°) 时，得到的时域函数称为该信号的希尔伯特变换。信号 $\mathit{x\left(t\right)}$ 的希尔伯特变换通过 $\mathit{x\left(t\right)}$ 与 (1/πt) 的卷积得到，即： $$\mathrm{\mathit{\hat{x}\left(t\right)=x\left(t\right)*\left ( \frac{\mathrm{1}}{\mathit{\pi t}} \right )}}$$希尔伯特变换的性质 希尔伯特变换性质的陈述和证明如下：性质 1 希尔伯特变换不改变信号的定义域。证明 令 a ... 阅读更多

卷积 卷积是结合两个信号以产生第三个信号的数学工具。换句话说，卷积可以定义为用于表达 LTI 系统的输入和输出之间关系的数学运算。考虑两个信号 $\mathit{x_{\mathrm{1}}\left( t\right )}$ 和 $\mathit{x_{\mathrm{2}}\left( t\right )}$. 那么，这两个信号的卷积定义为：$$\mathrm{ \mathit{\mathit{y\left(t\right)=x_{\mathrm{1}}\left({t}\right)*x_{\mathrm{2}}\left({t}\right)\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty }x_{\mathrm{1}}\left(\tau\right)x_{\mathrm{2}}\left(t-\tau\right)\:d\tau=\int_{-\infty }^{\infty }x_{\mathrm{2}}\left(\tau \right)x_{\mathrm{1}}\left(t-\tau\right)\:d\tau }}}$$卷积的性质 连续时间卷积具有基本的和重要的性质，如下所示：卷积的交换律 - 卷积的交换律指出，我们卷积两个信号的顺序不会… 阅读更多

失真定义为信号在通过系统时形状的变化。因此，当系统的输出是输入信号的精确副本时，信号通过系统的传输就被认为是无失真的。这个副本，即系统的输出，可能具有不同的幅度，也可能具有不同的时间延迟。输出信号幅度的恒定变化和恒定时间延迟不被认为是失真。只有信号形状的变化才被认为是失真。数学上，… 阅读更多

对于连续时间函数 𝑥(𝑡)，𝑥(𝑡) 的傅里叶变换可以定义为：$$\mathrm{X\left ( \omega \right )=\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-j\omega t}dt}$$用傅里叶变换进行系统分析 考虑一个由微分方程描述的 LTI（线性时不变）系统，如下所示：$$\mathrm{\sum_{k=0}^{N}a_{k}\frac{\mathrm{d}^{k}y\left ( t \right ) }{\mathrm{d} t^{k}}=\sum_{k=0}^{M}b_{k}\frac{\mathrm{d}^{k}x\left ( t \right ) }{\mathrm{d} t^{k}}}$$对方程两边进行傅里叶变换，得到：$$\mathrm{F\left [ \sum_{k=0}^{N}a_{k}\frac{\mathrm{d}^{k}y\left ( t \right ) }{\mathrm{d} t^{k}} \right ]=F\left [ \sum_{k=0}^{M}b_{k}\frac{\mathrm{d}^{k}x\left ( t \right ) }{\mathrm{d} t^{k}} \right ]}$$利用线性性质 $\mathrm{\left [ i.e., \: ax_{1}\left ( t \right )+bx_{2}\left ... 阅读更多

对于连续时间函数 𝑥(𝑡)，𝑥(𝑡) 的傅里叶变换可以定义为：$$\mathrm{X\left ( \omega \right )=\int_{-\infty }^{\infty}x\left ( t \right )e^{-j\omega t}dt}$$傅里叶变换的时域缩放性质 陈述 - 傅里叶变换的时域缩放性质指出，如果信号在时间上被扩展了一个量 (a)，则其傅里叶变换在频率上被压缩相同的量。因此，如果$$\mathrm{x\left ( t \right )\overset{FT}{\leftrightarrow} X\left ( \omega \right )}$$那么，根据傅里叶变换的时域缩放性质$$\mathrm{x\left ( at \right )\overset{FT}{\leftrightarrow}\frac{1}{\left | a \right |} X\left ( \frac{\omega }{a} \right )}$$当 𝑎 > 1 时，𝑥(𝑎𝑡) 是… 阅读更多

傅里叶变换 对于连续时间函数 𝑥(𝑡)，𝑥(𝑡) 的傅里叶变换可以定义为：$$\mathrm{X\left ( \omega \right )=\int_{-\infty }^{\infty}x\left ( t \right )e^{-j\omega t}dt}$$逆傅里叶变换定义为：$$\mathrm{x\left ( t \right )=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty}X\left ( \omega \right )e^{j\omega t}d\omega}$$复函数的傅里叶变换 考虑一个表示为 - 的复函数 𝑥(𝑡)：$$\mathrm{x\left ( t \right )=x_{r}\left ( t \right )+jx_{i}\left ( t \right )}$$其中，𝑥𝑟 (𝑡) 和 𝑥𝑖 (𝑡) 分别是函数的实部和虚部。现在，函数 𝑥(𝑡) 的傅里叶变换由下式给出：$$\mathrm{F\left [ x\left ( t \right ... 阅读更多

卷积 两个信号 𝑥(𝑡) 和 ℎ(𝑡) 的卷积定义为：$$\mathrm{y\left ( t \right )=x\left( t \right )\ast h\left ( t \right )=\int_{-\infty }^{\infty}x\left ( \tau \right )h\left ( t-\tau \right )d\tau}$$该积分也称为卷积积分。时间卷积定理 陈述 - 时间卷积定理指出，时域中的卷积等价于频域中其频谱的乘积。因此，如果两个时间信号的傅里叶变换给出为：$$\mathrm{x_{1}\left ( t \right )\overset{FT}{\leftrightarrow}X_{1} \left ( \omega \right )}$$以及$$\mathrm{x_{2}\left ( t \right )\overset{FT}{\leftrightarrow}X_{2} \left ( \omega \right )}$$那么，根据时间… 阅读更多

线性系统 - 叠加原理和齐次性原理有效的系统称为线性系统。线性系统的滤波特性 对于给定的线性系统，输入信号 𝑥(𝑡) 会产生响应信号 𝑦(𝑡)。因此，系统会根据系统的特性来处理输入信号 𝑥(𝑡)。输入信号 𝑥(𝑡) 的频谱密度函数在 s 域中由 𝑋(𝑠) 给出，在频域中由 𝑋(𝜔) 给出。同样，响应信号 𝑦(𝑡) 的频谱密度函数在 s 域中由 𝑌(𝑠) 给出，在频域中由 𝑌(𝜔) 给出。因此，$$\mathrm{Y\left ( s \right ... 阅读更多

能量谱密度 信号在频域中的能量分布称为能量谱密度 (ESD) 或能量密度 (ED) 或能量密度谱。它用 $\psi (\omega )$ 表示，由下式给出：$$\mathrm{\psi (\omega )=\left | X(\omega ) \right |^{2}}$$自相关 自相关函数给出了信号与其延迟版本之间相似性的度量。能量信号 x(t) 的自相关函数由下式给出：$$\mathrm{R(\tau )=\int_{-\infty }^{\infty}x(t)\:x^{*}(t-\tau )\:dt}$$其中，参数 $\tau$ 称为延迟参数。ESD 和自相关函数之间的关系 自相关函数 $R(\tau$) 和能量谱密度 (ESD) 函数… 阅读更多

傅里叶变换 对于连续时间函数 x(t)，x(t) 的傅里叶变换可以定义为：$$\mathrm{X(\omega)=\int_{-\infty }^{\infty}x(t)\:e^{-jwt}\:dt}$$逆傅里叶变换定义为：$$\mathrm{x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty }^{\infty}X(\omega)\:e^{jwt}\:d\omega}$$傅里叶变换的时间积分性质 陈述 连续时间傅里叶变换的时间积分性质指出，函数 x(t) 在时域中的积分等价于其傅里叶变换在频域中除以因子 jω。因此，如果：$$\mathrm{x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega )}$$那么，根据时间积分性质$$\mathrm{\int_{-\infty }^{t}x(\tau )\:\overset{FT}{\leftrightarrow}\frac{X(\omega )}{j\omega };\:\:(if\:X(0)=0)}$$证明 当 X(0)=0 时；则可以使用分部积分法证明 CTFT 的时间积分性质。因此，根据逆… 阅读更多