傅里叶级数 考虑一个周期信号𝑔(𝑡)，其周期为T，则函数𝑔(𝑡)的傅里叶级数定义为： $$\mathrm{g(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0}t}\:\:\:\:....(1)}$$其中，𝐶𝑛是傅里叶级数系数，由下式给出： $$\mathrm{C_{n}=\frac{1}{T}\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}g(t)e^{-jn\omega_{0}t}dt\:\:\:\:....(2)}$$从傅里叶级数推导傅里叶变换 设𝑥(𝑡)为非周期信号，且𝑥(𝑡)和𝑔(𝑡)之间的关系由下式给出： $$\mathrm{X(t)=\lim_{T\rightarrow \infty}g(t)\:\:\:\:.....(3)}$$其中，T是周期信号𝑔(𝑡)的周期。 重新排列等式(2)，我们得到： $$\mathrm{TC_n=\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}g(t)e^{-jn\omega_{0}t}dt}$$项𝐶𝑛表示频率nω0的分量的幅度。 设nω0 = ω，当𝑇 → ∞时。然后，我们有： $$\mathrm{\omega_0=\frac{2\pi}{t}|_{T\rightarrow \infty}\rightarrow 0}$$因此，离散的……阅读更多

傅里叶变换 连续时间函数𝑥(𝑡)的傅里叶变换可以定义为： $$\mathrm{X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$傅里叶变换的卷积性质 陈述——两个信号在时域中的卷积等效于它们在频域中的频谱乘积。因此，如果 $$\mathrm{x_1(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X_1(\omega)\:and\:x_2(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X_2(\omega)}$$那么，根据傅里叶变换的时域卷积性质， $$\mathrm{x_1(t)*x_2(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X_1(\omega)*X_2(\omega)}$$证明 两个连续时间信号𝑥1(𝑡)和𝑥2(𝑡)的卷积定义为： $$\mathrm{x_1(t)*x_2(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x_1(\tau)x_2(t-\tau)d\tau}$$现在，根据傅里叶变换的定义，我们有： $$\mathrm{X(\omega)=F[x_1(t)*x_2(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}[x_1(t)*x_2(t)]e^{-j \omega t}dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow F[x_1(t)*x_2(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}[\int_{-\infty}^{\infty}x_1(\tau)x_2(t-\tau)d\tau]e^{-j \omega t}dt }$$通过交换积分顺序，我们得到： $$\mathrm{\Rightarrow F[x_1(t)*x_2(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}x_1(\tau)[\int_{-\infty}^{\infty}x_{2}(t-\tau)e^{-j \omega t}dt]d\tau }$$通过在第二个积分中替换(𝑡 − 𝜏) = 𝑢，……阅读更多

傅里叶级数 如果𝑥(𝑡)是周期为T的周期函数，则该函数的连续时间傅里叶级数定义为： $$\mathrm{x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_ne^{jn\omega_{0}t}\:\:\:\:\:.....(1)}$$其中，𝐶𝑛是指数傅里叶级数系数，由下式给出： $$\mathrm{C_n=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}x(t)e^{-jn\omega_0t}dt\:\:\:\:\:.....(2)}$$傅里叶级数的卷积性质 根据卷积性质，两个函数𝑥1(𝑡)和𝑥2(𝑡)在时域卷积的傅里叶级数等于它们在频域中傅里叶级数系数的乘积。 如果𝑥1(𝑡)和𝑥2(𝑡)是两个周期为T且傅里叶级数系数分别为𝐶𝑛和𝐷𝑛的周期函数。那么，如果 $$\mathrm{x_1(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_n}$$$$\mathrm{x_2(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}D_n}$$那么，连续时间傅里叶级数的卷积性质指出： $$\mathrm{x_1(t)*x_2(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}TC_nD_n}$$证明 通过……阅读更多

傅里叶变换 对于连续时间函数x(t)，x(t)的傅里叶变换可以定义为： $$\mathrm{X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$傅里叶变换的共轭性质 陈述——傅里叶变换的共轭性质指出，时域中函数x(t)的共轭导致其在频域中傅里叶变换的共轭，并且ω被替换为(−ω)，即，如果 $$\mathrm{x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega)}$$那么，根据傅里叶变换的共轭性质， $$\mathrm{x^*(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X^*(-\omega)}$$证明 根据傅里叶变换的定义，我们有 $$\mathrm{X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$在两边取共轭，我们得到 $$\mathrm{X^*(\omega)=[\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt]^*}$$$$\mathrm{\Rightarrow X^*(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x^*(t)e^{j\omega t}dt}$$现在，通过将(ω)替换为(−ω)，我们得到： $$\mathrm{X^*(-\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x^*(t)e^{-j\omega t}dt=F[x^*(t)]}$$$$\mathrm{\therefore F[x^*(t)]=X^*(-\omega)}$$或者，它也可以表示为： $$\mathrm{x^*(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X^*(-\omega)}$$自相关性质……阅读更多

指数傅里叶级数 周期信号在一定的时间间隔内表示为正交函数的线性组合。如果这些正交函数是指数函数，则该函数的傅里叶级数表示称为指数傅里叶级数。 指数傅里叶级数是傅里叶级数中最常用的形式。在这种表示中，周期函数x(t)表示为复指数函数的加权和。复指数傅里叶级数是傅里叶级数的一种方便且紧凑的形式，因此它在通信理论中得到了广泛的应用。 解释 设一组复……阅读更多

当在R Ω的电阻上施加V伏特的电压时，电流I将流过它。电阻中耗散的功率由下式给出： $$\mathrm{P=I^2R=\frac{V^2}{R}\:\:\:\:\:\:....(1)}$$但是当电压和电流信号不恒定时，功率在每个时刻都会变化，瞬时功率的方程由下式给出： $$\mathrm{P=i^2(t)R=\frac{V^2(t)}{R}\:\:\:\:\:\:....(2)}$$其中，𝑖(𝑡)和𝑣(𝑡)分别是电流和电压的瞬时值。 现在，如果电阻(R)的值为1 Ω，则瞬时功率可以表示为： $$\mathrm{p=i^2(t)=v^2(t)\:\:\:\:\:\:....(3)}$$因此，信号x(t)的瞬时功率可以给出……阅读更多

傅里叶变换 对于连续时间函数x(t)，x(t)的傅里叶变换可以定义为： $$\mathrm{X(\omega)= \int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$连续时间傅里叶变换的对偶性质 陈述——如果函数x(t)具有傅里叶变换X(ω)，并且我们在时域中形成一个具有傅里叶变换函数形式的新函数X(t)，那么它将具有一个傅里叶变换X(ω)，其函数形式为原始时间函数，但它是频率的函数。 在数学上，CTFT的对偶性质指出，如果 $$\mathrm{x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega)}$$那么，根据对偶性质， $$\mathrm{X(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}2\pi x(-\omega)}$$证明 根据傅里叶逆变换的定义，我们有 $$\mathrm{x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d\omega }$$$$\mathrm{\Rightarrow 2\pi.x(t)=\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega ... 阅读更多

周期信号的傅里叶级数表示具有多种重要特性，这些特性在将信号从一种形式转换为另一种形式的过程中非常有用。考虑两个周期为 T 的周期信号 𝑥1(𝑡) 和 𝑥2(𝑡)，其傅里叶级数系数分别为 𝐶𝑛 和 𝐷𝑛。基于此假设，让我们继续检查连续时间傅里叶级数的各种性质。线性性质连续时间傅里叶级数的线性性质指出，如果$$\mathrm{x_{1}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}\: and\:x_{2}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}D_{n}}$$那么$$\mathrm{Ax_{1}(t)+Bx_{2}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}AC_{n}+BD_{n}}$$时移性质傅里叶级数的时移性质指出，如果$$\mathrm{x(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$那么$$\mathrm{x(t-t_{0})\overset{FS}{\leftrightarrow}e^{-jn\omega_{0}t_{0}}C_{n}}$$时间尺度变换性质傅里叶级数的时间尺度变换性质指出，如果$$\mathrm{x(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$那么$$\mathrm{x(at)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}\:with\:\omega_{0}\rightarrow a\omega_{0}}$$时间…阅读更多

波形对称性的重要性如果周期信号 𝑥(𝑡) 具有某种类型的对称性，则一些三角傅里叶级数系数可能变为零，因此系数的计算变得简单。偶对称或镜像对称当周期函数关于垂直轴对称时，则称其具有偶对称性或镜像对称性。偶对称性也称为反射对称性。数学上，如果周期函数 x(t) 满足$$\mathrm{𝑥(𝑡) = 𝑥(−𝑡)\:\:\:\:\:\: ...(1)}$$则称其具有偶对称性。图中显示了一些具有偶对称性的函数示例。偶函数始终关于垂直轴对称。解释作为…阅读更多

傅里叶变换傅里叶变换是一种变换技术，它将信号从连续时间域变换到相应的频域，反之亦然。连续时间函数 $x(t)$ 的傅里叶变换定义为：$$\mathrm{X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j\omega t}dt… (1)}$$傅里叶逆变换连续时间函数的傅里叶逆变换定义为：$$\mathrm{x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)\:e^{j\omega t}d\omega… (2)}$$公式 (1) 和 (2) 中的 $X(\omega)$ 和 $x(t)$ 称为傅里叶变换对，可以表示为 −$$\mathrm{X(\omega)=F[x(t)]}$$和$$\mathrm{x(t)=F^{-1}[X(\omega)]}$$傅里叶变换对表函数, x(t)傅里叶变换, X(ω)$\delta(t)$1$\delta(t-t_{0})$$e^{-j \omega t_{0}}$1$2\pi \delta(\omega)$u(t)$\pi\delta(\omega)+\frac{1}{j\omega}$$\sum_{n=−\infty}^{\infty}\delta(t-nT)$$\omega_{0}\sum_{n=−\infty}^{\infty}\delta(\omega-n\omega_{0});\:\:\left(\omega_{0}=\frac{2\pi}{T} \right)$sgn(t)$\frac{2}{j\omega}$$ e^{j\omega_{0}t}$$ 2\pi\delta(\omega-\omega_{0})$$ cos\:\omega_{0}t$$\pi[\delta(\omega-\omega_{0})+\delta(\omega+\omega_{0})]$$sin\:\omega_{0}t$$-j\pi[\delta(\omega-\omega_{0})-\delta(\omega+\omega_{0})]$$e^{-at}u(t);\:\:\:a >0$$\frac{1}{a+j\omega}$$t\:e^{at}u(t);\:\:\:a >0$$\frac{1}{(a+j\omega)^{2}}$$e^{-|at|};\:\:a >0$$\frac{2a}{a^{2}+\omega^{2}}$$e^{-|t|}$$\frac{2}{1+\omega^{2}}$$\frac{1}{\pi t}$$-j\:sgn(\omega)$$\frac{1}{a^{2}+t^{2}}$$\frac{\pi}{a}e^{-a|\omega|}$$\Pi (\frac{t}{τ})$$τ\:sin c(\frac{\omega τ}{2})$$\Delta(\frac{t}{τ})$$\frac{τ}{2}sin C^{2}(\frac{\omega τ}{4})$$\frac{sin\:at}{\pi t}$$P_{a}(\omega)=\begin{cases}1 & for\:|\omega|\:< a\0 & for\:|\omega|\: > a…阅读更多