求一点，使其到点\( \mathrm{A}(-5,4) \)和\( \mathrm{B}(-1,6) \)的距离相等？这样的点有多少个？

已知

已知点为 $A (-5, 4)$ 和 $B (-1, 6)$。

要求

我们必须找到一个点，使其到点 $A (-5, 4)$ 和 $B (-1, 6)$ 的距离相等，并求出这样的点的个数。

解答

设 $P(x, y)$ 为到点 $A (-5, 4)$ 和 $B (-1, 6)$ 距离相等的点。

这意味着：
$PA = PB$

两边平方，得到：

\( \Rightarrow(\mathrm{PA})^{2}=(\mathrm{PB})^{2} \)

\( \Rightarrow(-5-x)^{2}+(4-y)^{2}=(-1-x)^{2}+(6-y)^{2} \)

\( \Rightarrow 25+x^{2}+10 x+16+y^{2}-8 y=1+x^{2}+2 x+ 36+y^{2}-12 y \)

\( \Rightarrow 25+10 x+16-8 y=1+2 x+36-12 y \)

\( \Rightarrow 8 x+4 y+41-37=0 \)

\( \Rightarrow 8x+4y+4=0 \)

\( \Rightarrow 2x+y+1=0 \)....(i)

AB 的中点为\( \mathrm{AB}=\left(\frac{-5-1}{2}, \frac{4+6}{2}\right) = (-3, 5)\)

\( =(-3,5) \)

由 (i) 式，

在点 $(-3,5)$ 处，

$2(-3)+5+1=0$

AB 的中点满足 (i) 式。

因此，有无数个点，实际上，所有满足方程 $2x + y + 1 = 0$ 的点都与点 A 和 B 等距。 

更新于：2022年10月10日

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