如图所示，$XY$ 和 $X’Y’$ 是圆 $x$ 的两条平行切线，圆心为 $O$，另一条切线 $AB$ 与圆在 $C$ 点相切，并分别与 $XY$ 交于 $A$ 点，与 $X’Y’$ 交于 $B$ 点。证明 $∠AOB = 90^o$。
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已知：

$XY$ 和 $X’Y’$ 是圆 $x$ 的两条平行切线，圆心为 $O$，另一条切线 $AB$ 与圆在 $C$ 点相切，并分别与 $XY$ 交于 $A$ 点，与 $X’Y’$ 交于 $B$ 点。

求证：

我们需要证明 $\angle AOB=90^{o}$。

解答

$XY$ 和 $X'Y'$ 是圆的两条平行切线，圆心为 $O$，分别与圆相切于 $P$ 和 $Q$。

$AB$ 是圆在 $C$ 点的切线，它分别与 $XY$ 交于 $A$ 点，与 $X'Y'$ 交于 $B$ 点。

步骤如下

连接 $OC$。

在 $\vartriangle OAP$ 和 $\vartriangle OAC$ 中，

$OP=OC\ \ \ \ \ \ \ \ \ ( 同圆半径)$

$AP =AC\ \ \ \ \ \ \ \ ( 从圆外一点引出的两条切线的长相等)$

$OA=OA\ \ \ \  \ \ \ \ \ ( 公共边)$

$\vartriangle OAP\cong \vartriangle OAC\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ( SSS 全等判定)$

$\angle AOP=\angle AOC\ \ .................( 1)$

类似地，$\vartriangle OBC\cong \vartriangle OBQ$

$\angle BOQ=\angle BOC\ \ \ \ .....................( 2)$

现在，AOB 是圆的直径。

因此，它是一条直线。

$\angle AOP\ +\angle AOC+\angle BOQ+\angle BOC\ =\ 180^{o}$

由 $( 1)$ 和 $( 2)$，

我们有：$2\angle AOC+2\angle BOC\ =\ 180^{o}$

$\angle AOC+\angle BOC\ =\frac{180^{o} }{2}$

$=90^{o}$

我们知道，

$\angle AOC+\angle BOC=\angle AOB=90^{o}$

$\Rightarrow \angle AOB=90^{o}$

证毕。

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更新于: 2022年10月10日

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