两个圆心分别为 $O$ 和 $O^{\prime}$ 的等圆在 $X$ 点相切。$O O^{\prime}$ 延长线与圆心为 $O^{\prime}$ 的圆相交于 $A$ 点。$A C$ 是圆心为 O 的圆的切线。$O^{\prime} D$ 垂直于 $A C$。求 $\frac{D O^{\prime}}{C O}$ 的值。"\n

已知

两个圆心分别为 $O$ 和 $O^{\prime}$ 的等圆在 $X$ 点相切。$O O^{\prime}$ 延长线与圆心为 $O^{\prime}$ 的圆相交于 $A$ 点。$A C$ 是圆心为 O 的圆的切线。$O^{\prime} D$ 垂直于 $A C$。

要求：
我们需要求出 $\frac{D O^{\prime}}{C O}$ 的值。

 解答

$AC$ 是圆心为 $O$ 的圆的切线。

作 $O^{\prime}D\ perp\ AC$，连接 $OC$。

$AC$ 是切线，$OC$ 是半径。

$OC\ \perp\ AC$

$O^{\prime}D\ \perp\ AC$

$OC\ \parallel\ O^{\prime}D$

$OA=O^{\prime}A+O^{\prime}X+OX$

$OA=3AO^{\prime}$        ($O^{\prime}A=O^{\prime}X=OX$

在三角形 $O^{\prime}AD$ 和 $OAC$ 中，

$\angle A = \angle A$  (公共角)

$\angle AO^{\prime}D =\angle AOC$    (同位角)

因此，

$\Delta \mathrm{O}^{\prime} \mathrm{AD} \sim \Delta \mathrm{OAC}$     (根据 AA 公理) $\frac{\mathrm{DO}^{\prime}}{\mathrm{CO}}=\frac{\mathrm{AO}^{\prime}}{\mathrm{AO}}$

$=\frac{\frac{1}{3} \mathrm{AO}}{\mathrm{AO}}$

$=\frac{1}{3}$

$\frac{D O^{\prime}}{C O}$ 的值为 $\frac{1}{3}$。

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更新于: 2022年10月10日

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