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法律研究两个圆心分别为 \( O \) 和 \( O^{\prime} \) 的等圆在 \( X \) 点相切。\( O O^{\prime} \) 延长线与圆心为 \( O^{\prime} \) 的圆相交于 \( A \) 点。\( A C \) 是圆心为 O 的圆的切线。\( O^{\prime} D \) 垂直于 \( A C \)。求 \( \frac{D O^{\prime}}{C O} \) 的值。
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已知
两个圆心分别为 \( O \) 和 \( O^{\prime} \) 的等圆在 \( X \) 点相切。\( O O^{\prime} \) 延长线与圆心为 \( O^{\prime} \) 的圆相交于 \( A \) 点。\( A C \) 是圆心为 O 的圆的切线。\( O^{\prime} D \) 垂直于 \( A C \)。
要求：
我们需要求出 \( \frac{D O^{\prime}}{C O} \) 的值。
解答
$AC$ 是圆心为 $O$ 的圆的切线。
作 $O^{\prime}D\ perp\ AC$，连接 $OC$。
$AC$ 是切线，$OC$ 是半径。
$OC\ \perp\ AC$
$O^{\prime}D\ \perp\ AC$
$OC\ \parallel\ O^{\prime}D$
$OA=O^{\prime}A+O^{\prime}X+OX$
$OA=3AO^{\prime}$ ($O^{\prime}A=O^{\prime}X=OX$
在三角形 $O^{\prime}AD$ 和 $OAC$ 中，
$\angle A = \angle A$ (公共角)
$\angle AO^{\prime}D =\angle AOC$ (同位角)
因此，
$\Delta \mathrm{O}^{\prime} \mathrm{AD} \sim \Delta \mathrm{OAC}$ (根据 AA 公理) $\frac{\mathrm{DO}^{\prime}}{\mathrm{CO}}=\frac{\mathrm{AO}^{\prime}}{\mathrm{AO}}$
$=\frac{\frac{1}{3} \mathrm{AO}}{\mathrm{AO}}$
$=\frac{1}{3}$
\( \frac{D O^{\prime}}{C O} \) 的值为 $\frac{1}{3}$。
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