两圆的圆心分别为 $O$ 和 $O^{\prime}$，两圆的公切线 $A B$ 和 $C D$ 相交于 $E$，且 $E$ 在两圆心之间。证明点 $O, E$ 和 $O^{\prime}$ 共线。

已知

两圆的圆心分别为 $O$ 和 $O^{\prime}$，两圆的公切线 $A B$ 和 $C D$ 相交于 $E$，且 $E$ 在两圆心之间。

要求

我们必须证明点 $O, E$ 和 $O^{\prime}$ 共线。

解答

连接 $OA$ 和 $OC$。

在 $\triangle OAE$ 和 $\triangle OCE$ 中，

$OA=OC$    (同圆半径)

$OE=OE$    (公共边)

$\angle OAE=\angle OCE=90^{\circ}$

$\Rightarrow \triangle OAE \cong \triangle OCE$    (根据 RHS 全等)

$\Rightarrow \angle AEO=\angle CEO$        (全等三角形对应角相等)

类似地，

$\angle BEO^{\prime}=\angle DEO^{\prime}$

$\angle AEC=\angle DEB$

$\Rightarrow \frac{1}{2} \angle AEC=\frac{1}{2} \angle DEB$

$\Rightarrow \angle AEO=\angle CEO=\angle BEO^{\prime}=\angle DEO^{\prime}$
由于这些角相等，并且被 $OE$ 和 $O^{\prime}E$ 平分，所以 $O, E$ 和 $O^{\prime}$ 共线。

教程点

更新于: 2022年10月10日

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