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法律研究\( A B \)是圆的直径，圆心为\( O \)。\( C \)是圆周上的一点，使得\( \angle C O B=\theta \)。由\( A C \)截断的小弓形的面积等于扇形\( B O C \)面积的两倍。证明\( \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}=\pi\left(\frac{1}{2}-\frac{\theta}{120}\right) \)
"\n
已知
\( A B \)是圆的直径，圆心为\( O \)。\( C \)是圆周上的一点，使得\( \angle C O B=\theta \)。
由\( A C \)截断的小弓形的面积等于扇形\( B O C \)面积的两倍。
要求
我们需要证明\( \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}=\pi\left(\frac{1}{2}-\frac{\theta}{120}\right) \)。
解答
设圆的半径为 $r$。
从图中，
$\angle \mathrm{BOC}=\theta$
这意味着，
$\mathrm{AOC}=180^{\circ}-\theta$
扇形 $\mathrm{BOC}$ 的面积 $=\pi r^{2} \times \frac{\theta}{360^{\circ}}$
小弓形 $\mathrm{AC}$ 的面积 $=2$ (扇形 BOC 的面积)
$=2 \times \pi r^{2} \frac{\theta}{360^{\circ}}$
$=\frac{2 \pi r^{2} \theta}{360^{\circ}}$............(i)
弓形的面积 $=(\frac{\pi(180^{\circ}-\theta)}{360^{\circ}}-\sin \frac{180^{\circ}-\theta}{2} \cos \frac{180^{\circ}-\theta}{2}) r^{2}$.............(ii)
从 (i) 和 (ii) 中，我们得到，
$\frac{2 \pi r^{2} \theta}{360^{\circ}}=r^{2}(\frac{\pi(180^{\circ}-\theta)}{360^{\circ}}-\sin \frac{180^{\circ}-\theta}{2} \cos \frac{180^{\circ}-\theta}{2})$
$\Rightarrow \frac{2 \pi \theta}{360^{\circ}}=[\frac{\pi(180^{\circ}-\theta)}{360^{\circ}}-\sin (90^{\circ}-\frac{\theta}{2}) \cos (90^{\circ}-\frac{\theta}{2})]$
$\Rightarrow \frac{2 \pi \theta}{360^{\circ}}=\frac{\pi(180^{\circ}-\theta)}{360^{\circ}}-\cos \frac{\theta}{2} \sin \frac{\theta}{2}$
因此，
$\sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}=\frac{\pi(180^{\circ}-\theta)}{360^{\circ}}-\frac{2 \pi \theta}{360^{\circ}}$
$\sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}=\pi(\frac{180^{\circ}}{360^{\circ}}-\frac{\theta}{360^{\circ}}-\frac{2 \theta}{360^{\circ}})$
$\sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}=\pi(\frac{1}{2}-\frac{3 \theta}{360^{\circ}})$
$=\pi(\frac{1}{2}-\frac{\theta}{120})$
$\sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}=\pi(\frac{1}{2}-\frac{\theta}{120})$
证毕。
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