平行四边形$ABCD$ 的顶点分别为 $A (x_1, y_1), B (x_2, y_2)$ 和 $C (x_3, y_3)$。用 $x_1, x_2, x_3, y_1, y_2$ 和 $y_3$ 表示第四个顶点 $D$ 的坐标。
已知
$ABCD$ 是一个平行四边形，其顶点分别为 $A (x_1, y_1), B (x_2, y_2)$ 和 $C (x_3, y_3)$。
要求
我们必须用 $x_1, x_2, x_3, y_1, y_2$ 和 $y_3$ 表示第四个顶点 $D$。
解答
设第四个顶点为 $D(x,y)$，对角线 $AC$ 和 $BD$ 相交于点 $O$。
这意味着，
\( \mathrm{O} \) 是 \( \mathrm{AC} \) 的中点。
\( \mathrm{O} \) 的坐标为 \( (\frac{x_1+x_3}{2}, \frac{y_1+y_3}{2}) \)
\( \mathrm{O} \) 是 \( \mathrm{BD} \) 的中点。
\( \mathrm{O} \) 的坐标为 \( (\frac{x_2+x}{2}, \frac{y_2+y}{2}) \)
因此，
\( (\frac{x_1+x_3}{2}, \frac{y_1+y_3}{2})=(\frac{x_2+x}{2}, \frac{y_2+y}{2}) \)
比较可得，
\( \frac{x_1+x_3}{2}=\frac{x_2+x}{2} \)
\( \Rightarrow x_1+x_3=x_2+x \)
\( \Rightarrow x=x_1+x_3-x_2 \)
类似地，
\( \frac{y_1+y_3}{2}=\frac{y_2+y}{2} \)
\( \Rightarrow y_1+y_3=y_2+y \)
\( \Rightarrow y=y_1+y_3-y_2 \)
因此，第四个顶点的坐标为 $(x_1+x_3-x_2, y_1+y_3-y_2)$。
- 相关文章
- 点 $A (x_1, y_1), B (x_2, y_2)$ 和 $C (x_3, y_3)$ 是 $\triangle ABC$ 的顶点。三角形 ABC 的重心的坐标是什么？
- 点 $A (x_1, y_1), B (x_2, y_2)$ 和 $C (x_3, y_3)$ 是 $\triangle ABC$ 的顶点。从 $A$ 出发的中线在 $D$ 点与 $BC$ 相交。求点 $D$ 的坐标。
- 点 $A (x_1, y_1), B (x_2, y_2)$ 和 $C (x_3, y_3)$ 是 $\triangle ABC$ 的顶点。求 $AD$ 上的点 $P$ 的坐标，使得 $AP : PD = 2 : 1$。
- 点 $A (x_1, y_1), B (x_2, y_2)$ 和 $C (x_3, y_3)$ 是 $\triangle ABC$ 的顶点。分别求中线 $BE$ 和 $CF$ 上的点 $Q$ 和 $R$ 的坐标，使得 $BQ : QE = 2 : 1$ 且 $CR : RF = 2 : 1$。
- 如果 $M$ 是 $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ 和 $x_6$ 的平均值，证明 $(x_1 - M) + (x_2 - M) + (x_3 - M) + (x_4 - M) + (x_5 - M) + (x_6 - M) = 0$。
- 如果三个点 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ 在同一条直线上，证明 \( \frac{y_{2}-y_{3}}{x_{2} x_{3}}+\frac{y_{3}-y_{1}}{x_{3} x_{1}}+\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1} x_{2}}=0 \)。
- 如果 $\overline{X}$ 是十个自然数 $x_1, x_2, x_3, …, x_{10}$ 的平均值，证明 $(x_1 - \overline{X}) + (x_2 - \overline{X}) + … + (x_{10} - \overline{X}) = 0$。
- 设 $A(4, 2), B(6,5)$ 和 $C(1, 4)$ 是 $∆ABC$ 的顶点。(i) 从 $A$ 出发的中线在 $D$ 点与 $BC$ 相交。求点 $D$ 的坐标。(ii) 求 $AD$ 上的点 $P$ 的坐标，使得 $AP : PD = 2 : 1$。(iii) 分别求中线 $BE$ 和 $CF$ 上的点 $Q$ 和 $R$ 的坐标，使得 $BQ : QE = 2 : 1$ 且 $CR : RF = 2 : 1$。(iv) 你观察到什么？[注：所有三条中线都共有的点称为重心，该点将每条中线分成 2: 1 的比例](v) 如果 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$ 和 $C(x_3, y_3)$ 是 $∆ABC$ 的顶点，求三角形重心的坐标。
- 如果 $A( 1,2) ,B( 4,3) $ 和 $C( 6,\ 6)$ 是平行四边形 $ABCD$ 的三个顶点，求第四个顶点 D 的坐标。
- 矩形 ABCD 的三个顶点为 A(3,1),B(-3,1)和C(-3,3)。在坐标系中画出这些点，并求第四个顶点 D 的坐标。同时，求矩形 ABCD 的面积。
- 平行四边形 \( \mathrm{ABCD} \) 的三个顶点为 \( \mathrm{A}(-2,3), \mathrm{B}(6,7) \) 和 \( \mathrm{C}(8,3) \)，则第四个顶点 \( \mathrm{D} \) 为(A) \( (0,1) \)(B) \( (0,-1) \)(C) \( (-1,0) \)(D) \( (1,0) \)
- 一组 $n$ 个值 $x_1, x_2,… x_n$ 从 $15$ 和 $-3$ 测量的偏差之和分别为 $-90$ 和 $54$。求 $n$ 和平均值。
- 平行四边形的三个顶点为 $(a + b, a – b), (2 a + b, 2a – b), (a – b, a + b)$。求第四个顶点。
- 平行四边形的三个顶点为 $(3, 4), (3, 8)$ 和 $(9, 8)$。求第四个顶点。
- 点 $A(3,1), B(5,1), C(a,b)$ 和 $D(4,3)$ 是平行四边形 ABCD 的顶点。求 $a$ 和 $b$ 的值。​
数据结构
网络
关系型数据库管理系统
操作系统
Java
MS Excel
iOS
HTML
CSS
Android
Python
C 语言编程
C++
C#
MongoDB
MySQL
Javascript
PHP
物理
化学
生物
数学
英语
经济学
心理学
社会学
服装设计
法律研究