平行四边形$ABCD$ 的顶点分别为 $A (x_1, y_1), B (x_2, y_2)$ 和 $C (x_3, y_3)$。用 $x_1, x_2, x_3, y_1, y_2$ 和 $y_3$ 表示第四个顶点 $D$ 的坐标。

已知

$ABCD$ 是一个平行四边形，其顶点分别为 $A (x_1, y_1), B (x_2, y_2)$ 和 $C (x_3, y_3)$。

要求

我们必须用 $x_1, x_2, x_3, y_1, y_2$ 和 $y_3$ 表示第四个顶点 $D$。

解答

设第四个顶点为 $D(x,y)$，对角线 $AC$ 和 $BD$ 相交于点 $O$。

这意味着，

$\mathrm{O}$ 是 $\mathrm{AC}$ 的中点。

$\mathrm{O}$ 的坐标为 $(\frac{x_1+x_3}{2}, \frac{y_1+y_3}{2})$

$\mathrm{O}$ 是 $\mathrm{BD}$ 的中点。

$\mathrm{O}$ 的坐标为 $(\frac{x_2+x}{2}, \frac{y_2+y}{2})$

因此，

$(\frac{x_1+x_3}{2}, \frac{y_1+y_3}{2})=(\frac{x_2+x}{2}, \frac{y_2+y}{2})$

比较可得，

$\frac{x_1+x_3}{2}=\frac{x_2+x}{2}$

$\Rightarrow x_1+x_3=x_2+x$

$\Rightarrow x=x_1+x_3-x_2$

类似地，

$\frac{y_1+y_3}{2}=\frac{y_2+y}{2}$

$\Rightarrow y_1+y_3=y_2+y$

$\Rightarrow y=y_1+y_3-y_2$

因此，第四个顶点的坐标为 $(x_1+x_3-x_2, y_1+y_3-y_2)$。

教程点

更新于: 2022年10月10日

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