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法律研究(a) 三个电阻，阻值分别为R1、R2和R3，连接方式为(i)串联，和(ii)并联。分别写出这两种情况下等效电阻的表达式。(b)两个相同的电阻，阻值均为12 Ω，连接到一个3 V的电池上。计算最小电阻组合和最大电阻组合消耗功率的比率。
(a) (i) 电阻串联：
我们知道，在串联电路中，流过每个电阻的电流相同，电路两端的电压是每个元件两端电压降的总和。
$\therefore V=V_1+V_2+V_3$
根据欧姆定律，我们有：
$V=I\times R$
代入每个电阻的V值，我们得到：
$IR_S=IR_1+IR_2+IR_3$
$IR_S=I(R_1+R_2+R_3)$
$R_S=R_1+R_2+R_3$
这里，$R_S$=串联等效电阻。
(a) (ii) 电阻并联：
我们知道，在并联电路中，每个电阻两端的电压相同，总电流是流过每个元件的电流之和。
$\therefore I=I_1+I_2+I_3$
根据欧姆定律，我们有：
$I=\frac {V}{R}$
代入每个电阻的I值，我们得到：
$\frac {V}{R_P}=\frac {V}{R_1}+\frac {V}{R_2}+\frac {V}{R_3}$
$\frac {1}{R_P}=\frac {1}{R_1}+\frac {1}{R_2}+\frac {1}{R_3}$
这里，$R_P$=并联等效电阻。
(b) 已知
电阻，$R_1=R_2=12\Omega$
电压，$V=3V$。
求解：最小电阻组合（并联）和最大电阻组合（串联）消耗功率的比率，$\frac {P_{min}}{P_{max}}$。
解答：(i) 最大电阻 ⇒ 串联组合
串联时，总电阻为：
$R_S=R_1+R_2$
$R_S=12+12$
$R_S=24\Omega$
因此，串联总电阻$R_S$为 $24\Omega$
现在，
我们知道，电阻消耗的功率为：
$功率=\frac{电压^2}{电阻}$ 或， $P = \frac{V^2}{R}$
代入V和R的值，我们得到：
$P_S=\frac{3^2}{24}$
$P_S=\frac{9}{24}$
$P_S=\frac{3}{8}$
$P_S=0.37W$
因此，串联消耗的功率$P_S$为0.37瓦。
(ii) 最小电阻 ⇒ 并联组合
并联时，总电阻为：
$\frac{1}{R_P}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$
$\frac{1}{R_P}=\frac{1}{12}+\frac{1}{12}$
$\frac{1}{R_P}=\frac{1+1}{12}$
$\frac{1}{R_P}=\frac{2}{12}$
$\frac{1}{R_P}=\frac{1}{6}$
$R_P=6\Omega$
因此，并联等效电阻$R_P$为 $6\Omega$
现在，
我们知道，电阻消耗的功率为：
$功率=\frac{电压^2}{电阻}$ 或， $P = \frac{V^2}{R}$
代入V和R的值，我们得到：
$P_R=\frac{3^2}{6}$
$P_R=\frac{9}{6}$
$P_R=\frac{3}{2}$
$P_R=1.5W$
因此，并联消耗的功率$P_R$为1.5瓦。
两种组合消耗功率的比率为：
$\frac {P_{min}}{P_{max}}=\frac {P_S}{P_R}=\frac{\frac {3}{8}}{\frac {3}{2}}=\frac {3}{8}\times {\frac {2}{3}}=\frac {2}{8}=\frac {1}{4}=1:4$
因此，最小电阻组合（并联）和最大电阻组合（串联）消耗功率的比率为1:4。
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