(a) 三个电阻，阻值分别为R1、R2和R3，连接方式为(i)串联，和(ii)并联。分别写出这两种情况下等效电阻的表达式。(b)两个相同的电阻，阻值均为12 Ω，连接到一个3 V的电池上。计算最小电阻组合和最大电阻组合消耗功率的比率。

(a) (i) 电阻串联：

我们知道，在串联电路中，流过每个电阻的电流相同，电路两端的电压是每个元件两端电压降的总和。

$\therefore V=V_1+V_2+V_3$

根据欧姆定律，我们有：

$V=I\times R$

代入每个电阻的V值，我们得到：

$IR_S=IR_1+IR_2+IR_3$

$IR_S=I(R_1+R_2+R_3)$

$R_S=R_1+R_2+R_3$

这里，$R_S$=串联等效电阻。

(a) (ii) 电阻并联：

我们知道，在并联电路中，每个电阻两端的电压相同，总电流是流过每个元件的电流之和。

$\therefore I=I_1+I_2+I_3$

根据欧姆定律，我们有：

$I=\frac {V}{R}$

代入每个电阻的I值，我们得到：

$\frac {V}{R_P}=\frac {V}{R_1}+\frac {V}{R_2}+\frac {V}{R_3}$

$\frac {1}{R_P}=\frac {1}{R_1}+\frac {1}{R_2}+\frac {1}{R_3}$

这里，$R_P$=并联等效电阻。

(b) 已知

电阻，$R_1=R_2=12\Omega$

电压，$V=3V$。

求解：最小电阻组合（并联）和最大电阻组合（串联）消耗功率的比率，$\frac {P_{min}}{P_{max}}$。

解答：(i) 最大电阻 ⇒ 串联组合

串联时，总电阻为：

$R_S=R_1+R_2$

$R_S=12+12$

$R_S=24\Omega$

因此，串联总电阻$R_S$为 $24\Omega$

现在，

我们知道，电阻消耗的功率为：

$功率=\frac{电压^2}{电阻}$ 或， $P = \frac{V^2}{R}$

代入V和R的值，我们得到：

$P_S=\frac{3^2}{24}$

$P_S=\frac{9}{24}$

$P_S=\frac{3}{8}$

$P_S=0.37W$

因此，串联消耗的功率$P_S$为0.37瓦。

(ii) 最小电阻 ⇒ 并联组合

并联时，总电阻为：

$\frac{1}{R_P}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$

$\frac{1}{R_P}=\frac{1}{12}+\frac{1}{12}$

$\frac{1}{R_P}=\frac{1+1}{12}$

$\frac{1}{R_P}=\frac{2}{12}$

$\frac{1}{R_P}=\frac{1}{6}$

$R_P=6\Omega$

因此，并联等效电阻$R_P$为 $6\Omega$

现在，

我们知道，电阻消耗的功率为：

$功率=\frac{电压^2}{电阻}$ 或， $P = \frac{V^2}{R}$

代入V和R的值，我们得到：

$P_R=\frac{3^2}{6}$

$P_R=\frac{9}{6}$

$P_R=\frac{3}{2}$

$P_R=1.5W$

因此，并联消耗的功率$P_R$为1.5瓦。

两种组合消耗功率的比率为：

$\frac {P_{min}}{P_{max}}=\frac {P_S}{P_R}=\frac{\frac {3}{8}}{\frac {3}{2}}=\frac {3}{8}\times {\frac {2}{3}}=\frac {2}{8}=\frac {1}{4}=1:4$

因此，最小电阻组合（并联）和最大电阻组合（串联）消耗功率的比率为1:4。

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更新于： 2022年10月10日

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