将 \( 0.99999 \ldots \) 表示为 \( \frac{p}{q} \) 的形式。你的答案是否让你感到惊讶？请与你的老师和同学们讨论为什么这个答案是合理的。

已知

一个数 $0.99999\ ....$

要求

我们将 $0.99999\ ....$ 表示为 $\frac{p}{q}$ 的形式。

解答

设 $x=0.99999.....$_________(i)

将等式(i)乘以 $10$，我们得到：

$10x=9.9999.....$_______(ii)

用(ii)减去(i)，我们得到：

$10x-x=9.9999.......-0.9999.........$

$\Rightarrow 9x=9$

$\Rightarrow x=\frac{9}{9}=1$

这里，$p=1$ 且 $q=1$

因此，$0.9999....=1$

1 和 0.999999 之间的差是 0.000001，可以忽略不计。

因此，我们可以得出结论：0.999999 非常接近于 1，因此，答案为 1 是合理的。 

更新于: 2022年10月10日

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