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法律研究如果\( \sqrt{3} \tan \theta=3 \sin \theta \)，求\( \sin ^{2} \theta-\cos ^{2} \theta \)的值。
已知
\( \sqrt{3} \tan \theta=3 \sin \theta \)
要求
我们需要求\( \sin ^{2} \theta-\cos ^{2} \theta \)的值。
解：
我们知道，
$\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$
这意味着，
$\sqrt{3} \tan \theta=3 \sin \theta$
$\sqrt{3} \frac{\sin \theta}{\cos \theta}=3 \sin \theta$
$\sqrt{3}=3 \cos \theta$
$\cos \theta=\frac{\sqrt3}{3}$
$\cos \theta=\frac{1}{\sqrt3}$
$\Rightarrow \sin^{2} \theta=1-\cos^2 \theta$
$=1-(\frac{1}{\sqrt3})^2$
$=1-\frac{1}{3}$
$=\frac{3-1}{3}$
$=\frac{2}{3}$
因此，
$\sin ^{2} \theta-\cos ^{2} \theta=\frac{2}{3}-(\frac{1}{\sqrt3})^2$
$=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}$
$=\frac{2-1}{3}$
$=\frac{1}{3}$
\( \sin ^{2} \theta-\cos ^{2} \theta \)的值为$\frac{1}{3}$。
更新于： 2022年10月10日
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