如果二次多项式 $6x^2+x+k$ 的零点的平方和是 $\frac{25}{36}$，则求 $k$ 的值。

已知：二次多项式 $6x^2+x+k$ 的零点的平方和是 $\frac{25}{36}$。

要求：求 $k$ 的值。

将给定表达式与 $ax^2+bx+c$ 进行比较

$a=6,\ b=1,\ c=k$

设多项式的零点为 $\alpha$ 和 $\beta$

零点之和 $=\alpha+\beta=-\frac{b}{a}=-\frac{1}{6}\ ----( i)$

根的乘积 $=\alpha\beta=\frac{c}{a}=\frac{k}{6}\ ----( ii)$

已知零点的平方和 $=\frac{25}{36}$

$\alpha^2+\beta^2=\frac{25}{36}\ ---( iii)$

对 $( i)$ 两边平方

$(\alpha+\beta)^2=(-\frac{1}{6})^2$

$\Rightarrow \alpha^2+\beta^2+2\alpha\beta=\frac{1}{36}$

$\Rightarrow \frac{25}{36}+2\alpha\beta=\frac{1}{36}$                                      [由 $( iii)$]

$\Rightarrow 2\alpha\beta=\frac{1}{36}-\frac{25}{36}$

$\Rightarrow 2\alpha\beta=\frac{( 1-25)}{36}$

$\Rightarrow 2\alpha\beta=-\frac{24}{36}$

$\Rightarrow \alpha\beta= -\frac{24}{2\times 36}$

$\Rightarrow \alpha\beta=-\frac{1}{3}\ ---( iv)$

因为 $( ii) =( iv)$

$\Rightarrow \frac{k}{6}=-\frac{1}{3}$

$\Rightarrow k=-\frac{1}{3}\times 6$

$\Rightarrow k=-2$

因此，$k$ 的值为 $-2$。