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如果两个等差数列前 n 项和的比为 (7n +1): (4n + 27),求这两个数列第 m 项的比。


已知:两个等差数列前 n 项和的比为 (7n +1): (4n + 27)

要求:求这两个数列第 mth 项的比。

解答

a1, a2 为两个给定等差数列的首项,d1 , d2 为这两个等差数列的公差。

因此,我们有所有项的和 Sn=n2[2a+(n1)d]

设 S 和 S' 为给定等差数列的 n 项和。

SS=n2[2a1+(n1)d1]n2[2a2+(n1)d2]

已知 SS=7n+14n+27


\frac{2a_{1} +( n-1) d_{1}}{2a_{2} +( n-1) d_{2}} =\frac{7n+1}{4n+27} \ \ \ \ \ ...................( 1)

为了求这两个给定等差数列第 m 项的比,在公式 (1) 中用 (2m–1) 代替 n

\frac{2a_{1} +( 2m-1-1) d_{1}}{2a_{2} +( 2m-1-1) d_{2}} =\frac{7( 2m-1) +1}{4( 2m-1) +27}

\frac{2a_{1} +( 2m-2) d_{1}}{2a_{2} +( 2m-2) d_{2}} =\frac{14m-7+1}{8m-4+27}

\frac{2a_{1} +2( m-1) d_{1}}{2a_{2} +2( m-1) d_{2}} =\frac{14m-6}{8m+23}

\frac{2[ a_{1} +( m-1) d_{1}]}{2[ a_{2} +( m-1) d_{2}]} =\frac{14m-6}{8m+23}

\frac{[ a_{1} +( m-1) d_{1}]}{[ a_{2} +( m-1) d_{2}]} =\frac{14m-6}{8m+23}

\because a_{m} =a+( m-1) d

\frac{第一个等差数列的第 m 项}{第二个等差数列的第 m 项} =\frac{14m-6}{14m+20}

因此,这两个等差数列的项的比为 14m –6:8m+23

更新时间: 2022 年 10 月 10 日

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