如果两个等差数列前 n 项和的比为 (7n +1): (4n + 27),求这两个数列第 m 项的比。
已知:两个等差数列前 n 项和的比为 (7n +1): (4n + 27),
要求:求这两个数列第 mth 项的比。
解答
设 a1, a2 为两个给定等差数列的首项,d1 , d2 为这两个等差数列的公差。
因此,我们有所有项的和 Sn=n2[2a+(n−1)d]
设 S 和 S' 为给定等差数列的 n 项和。
SS′=n2[2a1+(n−1)d1]n2[2a2+(n−1)d2]
已知 SS′=7n+14n+27
∴n2[2a1+(n−1)d1]n2[2a2+(n−1)d2]=7n+14n+27
2a1+(n−1)d12a2+(n−1)d2=7n+14n+27 ...................(1)
为了求这两个给定等差数列第 m 项的比,在公式 (1) 中用 (2m–1) 代替 n
2a1+(2m−1−1)d12a2+(2m−1−1)d2=7(2m−1)+14(2m−1)+27
2a1+(2m−2)d12a2+(2m−2)d2=14m−7+18m−4+27
2a1+2(m−1)d12a2+2(m−1)d2=14m−68m+23
2[a1+(m−1)d1]2[a2+(m−1)d2]=14m−68m+23
[a1+(m−1)d1][a2+(m−1)d2]=14m−68m+23
∵am=a+(m−1)d
第一个等差数列的第m项第二个等差数列的第m项=14m−614m+20
因此,这两个等差数列的项的比为 14m –6:8m+23。
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