如果两个等差数列前 n 项和的比为 (7n +1): (4n + 27),求这两个数列第 m 项的比。
已知:两个等差数列前 n 项和的比为 (7n +1): (4n + 27),
要求:求这两个数列第 mth 项的比。
解答
设 a1, a2 为两个给定等差数列的首项,d1 , d2 为这两个等差数列的公差。
因此,我们有所有项的和 Sn=n2[2a+(n−1)d]
设 S 和 S' 为给定等差数列的 n 项和。
SS′=n2[2a1+(n−1)d1]n2[2a2+(n−1)d2]
已知 SS′=7n+14n+27
∴
\frac{2a_{1} +( n-1) d_{1}}{2a_{2} +( n-1) d_{2}} =\frac{7n+1}{4n+27} \ \ \ \ \ ...................( 1)
为了求这两个给定等差数列第 m 项的比,在公式 (1) 中用 (2m–1) 代替 n
\frac{2a_{1} +( 2m-1-1) d_{1}}{2a_{2} +( 2m-1-1) d_{2}} =\frac{7( 2m-1) +1}{4( 2m-1) +27}
\frac{2a_{1} +( 2m-2) d_{1}}{2a_{2} +( 2m-2) d_{2}} =\frac{14m-7+1}{8m-4+27}
\frac{2a_{1} +2( m-1) d_{1}}{2a_{2} +2( m-1) d_{2}} =\frac{14m-6}{8m+23}
\frac{2[ a_{1} +( m-1) d_{1}]}{2[ a_{2} +( m-1) d_{2}]} =\frac{14m-6}{8m+23}
\frac{[ a_{1} +( m-1) d_{1}]}{[ a_{2} +( m-1) d_{2}]} =\frac{14m-6}{8m+23}
\because a_{m} =a+( m-1) d
\frac{第一个等差数列的第 m 项}{第二个等差数列的第 m 项} =\frac{14m-6}{14m+20}
因此,这两个等差数列的项的比为 14m –6:8m+23。
广告