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如果两个等差数列前 n 项和的比为 (7n +1): (4n + 27),求这两个数列第 m 项的比。


已知:两个等差数列前 n 项和的比为 (7n +1): (4n + 27)

要求:求这两个数列第 mth 项的比。

解答

a1, a2 为两个给定等差数列的首项,d1 , d2 为这两个等差数列的公差。

因此,我们有所有项的和 Sn=n2[2a+(n1)d]

设 S 和 S' 为给定等差数列的 n 项和。

SS=n2[2a1+(n1)d1]n2[2a2+(n1)d2]

已知 SS=7n+14n+27

n2[2a1+(n1)d1]n2[2a2+(n1)d2]=7n+14n+27

2a1+(n1)d12a2+(n1)d2=7n+14n+27     ...................(1)

为了求这两个给定等差数列第 m 项的比,在公式 (1) 中用 (2m–1) 代替 n

2a1+(2m11)d12a2+(2m11)d2=7(2m1)+14(2m1)+27

2a1+(2m2)d12a2+(2m2)d2=14m7+18m4+27

2a1+2(m1)d12a2+2(m1)d2=14m68m+23

2[a1+(m1)d1]2[a2+(m1)d2]=14m68m+23

[a1+(m1)d1][a2+(m1)d2]=14m68m+23

am=a+(m1)d

mm=14m614m+20

因此,这两个等差数列的项的比为 14m –6:8m+23

更新时间: 2022 年 10 月 10 日

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