如果一个在 100 和 1000 之间的任意数字减去它各数字之和，结果总是能够被哪个数整除？

已知

100 到 1000 之间的任意数字的各个数字之和从该数字中减去

求

我们要找出结果始终能够被哪个数整除

解

100 到 1000 之间的数字可以表示为 $100a+10b+c$。

此类数字各数字之和 = $a+b+c$

数字与其数字之和的差值 = $100a+10b+c-(a+b+c)=(100-1)a+(10-1)b+c-c=99a+9b$$=9(11a+b)$

这意味着

$9(11a+b)$ 可以被 9 整除。

可以被 9 整除的数字也可以被 3 整除。

每个数字都可以被 1 整除。

因此

100 到 1000 之间的数字与其数字之和的差值

可以被 1、3 和 9 整除。

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更新日期：2022 年 10 月 10 日

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