在下面，确定给定的二次方程是否有实根，如果有，求出根

$3a^2x^2+8abx+4b^2=0, a≠0$

已知

给定的二次方程是 $3a^2x^2+8abx+4b^2=0, a≠0$。

要求

我们必须确定给定的二次方程是否有实根。


解答

将给定的二次方程与二次方程的标准形式 $ax^2+bx+c=0$ 进行比较，我们得到：

$a=3a^2, b=8ab$ 和 $c=4b^2$。

二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的标准形式的判别式为

$D=b^2-4ac$。

因此，

$D=(8ab)^2-4(3a^2)(4b^2)=64a^2b^2-48a^2b^2=16a^2b^2=(4ab)^2$。

由于 $D>0$，给定的二次方程有实根，且根为

$x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$

$x=\frac{-8ab\pm \sqrt{(4ab)^2}}{2(3a^2)}$ 

$x=\frac{-8ab\pm 4ab}{6a^2}$ 

$x=\frac{2(-4ab\pm 2ab)}{2(3a^2)}$ 

$x=\frac{-4ab+2ab}{3a^2}$ 或 $x=\frac{-4ab-2ab}{3a^2}$

$x=\frac{-2ab}{3a^2}$ 或 $x=\frac{-6ab}{3a^2}$

$x=\frac{-2b}{3a}$ 或 $x=\frac{-2b}{a}$

$x=-\frac{2b}{3a}$ 或 $x=-\frac{2b}{a}$


根为 $-\frac{2b}{3a}$ 和 $-\frac{2b}{a}$。 

更新时间： 2022年10月10日

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