点$(\frac{24}{11}，y)$以什么比例分割连接点$P(2，-2)$和$(3，7)$的线段？也求出$y$的值。

假设给定点将线段分割成$k:1$的比例，

使用分点公式，我们有分点$(x，y) = (\frac{nx_1 + mx_2}{m+n}，\frac{ny_1 + my_2}{m+n})$

$\Rightarrow (\frac{24}{11}，y) = (\frac{1\times2 + k\times3}{k+1}，\frac{1\times-2 + k\times7}{k+1})$

$\Rightarrow (\frac{24}{11}，y) = (\frac{2+3k}{k+1}，\frac{7k-2}{k+1})$

比较可得：

$\Rightarrow \frac{24}{11} = \frac{2+3k}{k+1} \ \ \ \ \ \ ...........(1)$

以及 $y = \frac{7k-2}{k+1} \ \ \ \ \ \ ........... (2)$

$\Rightarrow 24(k+1) = 11(2+3k)$

$\Rightarrow 24k + 24 = 22 + 33k$

$\Rightarrow 33k - 24k = 24 - 22$

$\Rightarrow 9k = 2$

$\Rightarrow k = \frac{2}{9}$

将此值代入(2)

$\Rightarrow y = \frac{7k-2}{k+1} = \frac{7(\frac{2}{9}) - 2}{(\frac{2}{9}) + 1}$

$\Rightarrow y = \frac{14 - 18}{2 + 9}$

$\Rightarrow y = \frac{-4}{11}$

因此，给定点将线段按$2:9$的比例分割，$y = \frac{-4}{11}$。

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更新于：2022年10月10日

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