证明如果 ab₁ = a₁b，则点 (a, b)、(a₁, b₁) 和 (a – a₁, b – b₁) 共线。

已知

已知点为 (a, b)、(a₁, b₁) 和 (a – a₁, b – b₁)。

要求

我们必须证明，如果 ab₁ = a₁b，则点 (a, b)、(a₁, b₁) 和 (a – a₁, b – b₁) 共线。

解答

设 A(a, b)、B(a₁, b₁) 和 C(a-a₁, b-b₁) 是△ABC 的顶点。

我们知道：

顶点为 (x₁,y₁)、(x₂,y₂)、(x₃,y₃) 的三角形的面积由下式给出：

三角形面积 = $\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]$

因此，

三角形 ABC 的面积 = $\frac{1}{2}[a(b_1-b+b_1)+a_1(b-b_1-b)+(a-a_1)(b-b_1)]$

= $\frac{1}{2}[a(2b_1-b)+a_1(-b_1)+(a-a_1)(b-b_1)]$

= $\frac{1}{2}[2ab_1-ab-a_1b_1+ab-ab_1-a_1b+a_1b_1]$

= $\frac{1}{2}[ab_1-a_1b]$

= $\frac{1}{2}[ab_1-ab_1]$ (a₁b=ab₁)

$=0$

因此，点 A、B 和 C 共线。

证毕。

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更新于：2022年10月10日

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