证明点\( \mathrm{A}(a, a), \mathrm{B}(-a,-a) \)和\( C(-\sqrt{3} a, \sqrt{3} a) \)是等边三角形的顶点。

已知

\( \mathrm{A}(a, a), \mathrm{B}(-a,-a) \)和\( C(-\sqrt{3} a, \sqrt{3} a) \)

任务

我们必须证明点\( \mathrm{A}(a, a), \mathrm{B}(-a,-a) \)和\( C(-\sqrt{3} a, \sqrt{3} a) \)是等边三角形的顶点。

解答

设给定点为$A(a, a), B(-a,-a)$和$C(-\sqrt{3} a, \sqrt{3} a)$

因此，

$AB=\sqrt{(a+a)^{2}+(a+a)^{2}}$

$=\sqrt{4a^2+4a^2}$

$=2 \sqrt{2} a$

$BC=\sqrt{(-a+\sqrt{3} a)^{2}+(-a-\sqrt{3} a)^{2}}$

$=\sqrt{a^{2}+3 a^{2}-2 \sqrt{3} a^{2}+a^{2}+3 a^{2}+2 \sqrt{3} a^{2}}$

$=\sqrt{8 a^{2}}$

$=2 \sqrt{2} a$

$AC=\sqrt{(a+\sqrt{3} a)^{2}+(a-\sqrt{3} a)^{2}}$

$=\sqrt{a^{2}+3 a^{2}+2 \sqrt{3} a^{2}+a^{2}+3 a^{2}-2 \sqrt{3} a^{2}}$
$=\sqrt{8 a^{2}}$

$=2 \sqrt{2} a$

这里，

$AB = BC = AC$，这意味着$ABC$是等边三角形。

证毕。

教程点

更新于：2022年10月10日

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