两个正方形面积之和为 400 cm$^{2}$。如果它们的周长之差为 16 cm，求这两个正方形的边长。

已知：两个正方形的面积之和 $=400\ cm^{2}$，它们的周长之差 $=16\ cm$。

要求：求这两个正方形的边长。

设这两个正方形的边长分别为 a cm 和 b cm。

则它们的面积分别为 $a^{2}$ 和 $b^{2}$，它们的周长分别为 4a 和 4b。

根据题意

$a^{2} +b^{2} \ =\ 400\ ........\ ( 1)$

以及

$4a-4b=16$

$\Rightarrow a-b=\frac{16}{4} =4\ \ .............( 2)$

$\Rightarrow a=b+4$

将 a 的值代入 $( 1)$，

得到：

$( b+4)^{2} +b^{2} =400$

$\Rightarrow b^{2} +16+8b+b^{2} =400$

$\Rightarrow 2b^{2} +8b=400-16$

$\Rightarrow 2\left( b^{2} +4b\right) =384$

$\Rightarrow b^{2} +4b-192=0$

$\Rightarrow b^{2} +16b-12b-192=0$

$\Rightarrow b( b+16) -12( b+16) =0$

$\Rightarrow ( b-12)( b+16) =0$

$\Rightarrow b=12,\ -16$

$\because$ 正方形的边长不能为负数，

$\therefore$ 我们只接受 $b=12\ \ \ \ \ \ \ ( 我们拒绝 b=-160)$

如果 $b=12$，将此值代入 $( 2)$

得到 $a=b+4$

$=12+4$

$=16$

因此，这两个正方形的边长分别为 16 cm 和 12 cm。