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法律研究证明平行四边形的对角线平方和等于其边长平方和。
待办事项
我们需要证明平行四边形的对角线平方和等于其边长平方和。
解答
我们知道：
平行四边形的对角线互相平分。
设平行四边形为ABCD，对角线AC和BD相交于点O。
这意味着：
BO和DO分别是三角形ABC和ADC的中线。
$\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}=2 \mathrm{BO}^{2}+\frac{1}{2} \mathrm{AC}^{2}$...........(i)
$\mathrm{AD}^{2}+\mathrm{CD}^{2}=2 \mathrm{OD}^{2}+\frac{1}{2} \mathrm{AC}^{2}$...........(ii)
(i)和(ii)相加，得到：
$\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}+\mathrm{CD}^{2}+\mathrm{AD}^{2}=2(\mathrm{BO}^{2}+\mathrm{OD}^{2})+\mathrm{AC}^{2}$
$=2(\frac{1}{4} \mathrm{BD}^{2}+\frac{1}{4} \mathrm{BD}^{2})+\mathrm{AC}^{2}$ (因为 $\mathrm{DO}=\mathrm{BO}=\frac{1}{2} \mathrm{BD}$)
$=2 \times \frac{1}{2} \mathrm{BD}^{2}+\mathrm{AC}^{2}$
$\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}+\mathrm{CD}^{2}+\mathrm{AD}^{2}=\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{BD}^{2}$
证毕。
更新于：2022年10月10日
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