证明：在直角三角形中，斜边的平方等于另两条边的平方和。

已知：直角三角形ABC，其中$\angle B=90^{o}$

求证：$(斜边)^{2}=(底边)^{2}+(高)^{2}$

$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}$

作图：从B点作BD⟂AC。

在三角形$\vartriangle ADB$和$\vartriangle ABC$中，我们有

$\angle ADB=\angle ABC$ [都等于$90^{o}$]

且，$\angle A=\angle A$ [公共角]

因此，根据AA相似性准则，我们有

$\vartriangle ADB \sim \vartriangle ABC$

$\frac{AD }{AB}=\frac{AB}{AC}$ [相似三角形对应边成比例]

                                                           

$AB^{2}=AD×AC                   .......( 1)$

在三角形$\vartriangle BDC$和$\vartriangle ABC$中，我们有

$\angle CDB=\angle ABC$ [都等于$90^{o}$]

且，$\angle C=\angle C$ [公共角]

因此，根据AA相似性准则，我们有

$\vartriangle BDC \sim \vartriangle ABC$

$\Rightarrow \frac{DC}{BC}=\frac{BC}{AC}$ [相似三角形对应边成比例]

$\Rightarrow BC^{2}=AC\times DC                                 .....(2)$

将公式$( 1)$和$( 2)$相加，我们得到

$AB^{2}+BC^{2}=AD×DC+AC×DC$

$\Rightarrow AB^{2}+BC^{2}=AC(AD+DC)$

$\Rightarrow AB^{2}+BC^{2}=AC×AC=AC^{2}$

$\Rightarrow AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$

因此，证明了$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$