证明:在直角三角形中,斜边的平方等于另两条边的平方和。
已知:直角三角形ABC,其中∠B=90o
求证:(斜边)2=(底边)2+(高)2
AC2=AB2+BC2
解

作图:从B点作BD⟂AC。
证明
在三角形△ADB和△ABC中,我们有
∠ADB=∠ABC [都等于90o]
且,∠A=∠A [公共角]
因此,根据AA相似性准则,我们有
△ADB∼△ABC
ADAB=ABAC [相似三角形对应边成比例]
AB2=AD×AC.......(1)
在三角形△BDC和△ABC中,我们有
∠CDB=∠ABC [都等于90o]
且,∠C=∠C [公共角]
因此,根据AA相似性准则,我们有
△BDC∼△ABC
⇒DCBC=BCAC [相似三角形对应边成比例]
⇒BC2=AC×DC.....(2)
将公式(1)和(2)相加,我们得到
AB2+BC2=AD×DC+AC×DC
⇒AB2+BC2=AC(AD+DC)
⇒AB2+BC2=AC×AC=AC2
⇒AB2+BC2=AC2
因此,证明了AB2+BC2=AC2
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