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法学三个数成等差数列，其和为12，其立方和为288。求这三个数。
已知
三个数成等差数列。
这三个数的和为12，其立方和为288。
要求
我们必须找到这三个数。
解答
设等差数列的前三项为 $a−d,\ a,\ a+d$。
根据题意，
$a−d+a+a+d=12\ ......( i)$
$( a−d)^3+(a)^3+( a+d)^3=288\ .....(ii)$
从$(i)$式，我们得到
$3a=12$
$\Rightarrow a=\frac{12}{3}=4$
从$(ii)$式，我们得到
$a^3-d^3-3ad(a-d)+a^3+a^3+d^3+3ad(a+d)=288$
$3a^3-3a^2d+3ad^2+3a^2d+3ad^2=288$
$3a^3+6ad^2=288$.....(iii)
将$a=4$代入$(iii)$式，我们得到：
$3(4^3+2(4)d^2)=3\times96$
$\Rightarrow 64+8d^2=96$
$\Rightarrow 8d^2=96-64$
$\Rightarrow 8d^2=32$
$\Rightarrow d^2=4$
$\Rightarrow d=\pm 2$
这意味着：
如果$a=4, d=2$，那么
$a-d=4-2=2, a=4, a+d=4+2=6, a+2d=4+2(2)=4+4=8$
所求等差数列为 $2, 4, 6, 8,......$
如果$a=4, d=-2$，那么
$a-d=4-(-2)=4+2=6, a=4, a+d=4+(-2)=2, a+2d=4+2(-2)=4-4=0$
所求等差数列为 $6, 4, 2, 0,......$
这三个数是2, 4和6，或者6, 4和2。
更新于：2022年10月10日
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