当一个物体放置在凹面镜前 20 cm 处时，形成了一个放大三倍的实像。求：(a) 镜子的焦距。(b) 物体必须放置在什么位置才能得到一个高度是物体三倍的虚像？

(a) 已知

物体到镜面的距离，$u$ = $-$20 cm

放大倍数，$m$ = $-$3 cm

求解： 镜子的焦距 $(f)$。

解答

根据放大倍数公式，我们知道：

$m=-\frac{v}{u}$

将已知值代入放大倍数公式，得到：

$-3=-\frac{v}{(-20)}$

$-3=\frac{v}{20}$

$v=-60cm$

因此，像的距离 $v$ 为 60 cm，负号表示像在镜面前方（左侧）。

现在，根据镜面公式，我们知道：

$\frac{1}{f}=\frac{1}{v}+\frac{1}{u}$

将已知值代入镜面公式，得到：

$\frac{1}{f}=\frac{1}{(-60)}+\frac{1}{(-20)}$

$\frac{1}{f}=-\frac{1}{60}-\frac{1}{20}$

$\frac{1}{f}=\frac{-1-3}{60}$

$\frac{1}{f}=-\frac{4}{60}$

$\frac{1}{f}=-\frac{1}{15}$

$f=-60cm$

因此，焦距 $f$ 为 60 cm，负号表示焦距在镜面前方（左侧）。

(b) 如果像是虚像且放大倍数为 3

已知

镜子的焦距，$f$ = $-$15 cm

放大倍数，$m$ = 3 cm

物体到镜面的距离，$u$ = $-$20 cm

求解： 物体到镜面的距离 $(u)$。

解答

根据放大倍数公式，我们知道：

$m=-\frac{v}{u}$

将已知值代入放大倍数公式，得到：

$3=-\frac{v}{u}$

$v=-3u$

因此，像的距离 $v$ 为 3u，负号表示像在镜面前方（左侧）。

现在，根据镜面公式，我们知道：

$\frac{1}{f}=\frac{1}{v}+\frac{1}{u}$

将已知值代入镜面公式，得到：

$\frac{1}{(-15)}=\frac{1}{(-3u)}+\frac{1}{u}$

$\frac{1}{-15}=-\frac{1}{3u}+\frac{1}{u}$

$\frac{1}{-15}=\frac{-1+3}{3u}$

$\frac{1}{-15}=\frac{2}{3u}$

$3u=2\times {(-15)}$

$u=\frac{-30}{3}$

$u=-10cm$

因此，物体应放置在距离镜面 10 cm 处才能得到一个高度是物体三倍的虚像。

物体前的负号表示物体放置在镜面前方（左侧）。