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已知：语句“任何正奇数都可以表示为 6q + 1 或 6q + 3 或 6q + 5 的形式，其中 q 是某个整数”。要证明：我们必须证明任何正奇数都可以表示为 6q + 1，或 6q + 3，或 6q + 5 的形式，其中 q 是某个整数。解：根据欧几里得除法引理，如果 a 和 b 是两个正整数，则 a = bq + r，其中 0 ≤ r < b
要做的：我们必须证明任何正整数的立方都可以表示为 9m, 9m + 1 或 9m + 8 的形式。解：根据欧几里得除法算法，a = bq + r，其中 0 ≤ r < b。设 a 为正整数，b = 3。现在，a = 3q + r，其中 0 ≤ r < 3。r 的可能值为 0、1、2。当 r = 0 时，a = 3q 将两边都立方，a³ = (3q)³ a³ = 27q³ a³ = 9(3q³) a³ = 9m，其中 m = 3q³ 当 r = 1 时，a = 3q ... 阅读更多
要做的：这里我们要将每个给定的数字表示为其质因数的乘积。解：我们知道，每个大于 1 的正整数都可以写成质数的乘积（或者整数本身就是一个质数）。因此，合数 = 质数的乘积 (i) 140 的质因数分解： 140 = 2 × 2 × 5 × 7 **140 = 2² × 5¹ × 7¹** 因此，140 可以表示为 2² × 5¹ × 7¹。 (ii) 156 的质因数分解： 156 = 2 × 2 × 3 × 13 **156 = 2² × 3¹ × 13¹** 因此，156 可以 ... 阅读更多
要做的：这里我们要找出给定整数对的最小公倍数 (LCM) 和最大公约数 (HCF)，然后验证 LCM × HCF = 两数之积。解：使用质因数分解法计算 LCM 和 HCF：将数字写成其质因数的乘积：(i) 26 的质因数分解： 2 × 13 = 2¹ × 13¹ 91 的质因数分解： 7 × 13 = 7¹ × 13¹ 将这些值的每个质数的最高次幂相乘： 2¹ × 13¹ × 7¹ = 182 LCM(26, 91) = 182 将所有公有的质因数相乘： 13¹ = 13 HCF(26, 91) = 13 现在，验证 LCM × HCF = 整数的乘积：LCM × ... 阅读更多
要找到：这里我们要运用质因数分解法求出给定整数的最小公倍数 (LCM) 和最大公约数 (HCF)。解：使用质因数分解法计算 LCM 和 HCF：将数字写成其质因数的乘积：(i) 12 的质因数分解： 2 × 2 × 3 = 2² × 3¹ 15 的质因数分解： 3 × 5 = 3¹ × 5¹ 21 的质因数分解： 3 × 7 = 3¹ × 7¹ 将这些值的每个质数的最高次幂相乘： 2² × 3¹ × 5¹ × 7¹ = 420 LCM(12, 15, 21) = 420 将所有公有的质因数相乘： 3¹ = 3 HCF(12, 15, 21) = 3 因此，LCM 和 HCF ... 阅读更多
已知：运动场周围有一条环形跑道。索尼亚绕操场跑一圈需要 18 分钟，而拉维需要 12 分钟。他们都在同一点同时出发，并朝同一方向前进。要做的：我们必须找到多少分钟后他们会在起点再次相遇。解：索尼亚和拉维都朝同一方向同时出发。因此，为了找到他们将在起点再次相遇的时间，我们必须找到 18 和 12 的最小公倍数 (LCM)。这意味着，... 阅读更多
要找到：我们必须证明 √5 是无理数。解：我们知道，如果 p 是一个质数，并且如果 p 整除 a²，则 p 整除 a，其中 a 是一个正整数。现在，我们假设，与之相反，√5 是有理数。所以，我们可以找到整数 a 和 b（≠ 0）使得 √5 = a/b。其中 a 和 b 互质。⇒ (√5)² = (a/b)² ⇒ 5 = a²/b² ⇒ 5b² = a² 因此，5 整除 a² 这意味着，5 整除 a。所以，我们可以写成 a = 5c，其中 c 是某个整数。⇒ a² = 25c² ⇒ 5b² = 25c² (使用 5b² = ... 阅读更多
已知：3 + 2√5 要做的：这里我们要证明 3 + 2√5 是无理数。解：我们假设，与之相反，3 + 2√5 是有理数。所以，我们可以找到整数 a 和 b（≠ 0）使得 3 + 2√5 = a/b。其中 a 和 b 互质。现在，3 + 2√5 = a/b 2√5 = a/b - 3 2√5 = (a - 3b)/b √5 = (a - 3b)/2b 这里，(a - 3b)/2b 是一个有理数，但是 √5 是一个无理数。但是，无理数 ≠ 有理数。这个矛盾是由于我们错误地假设 3 + 2√5 是有理数而产生的。所以，这证明了 ... 阅读更多
证明：这里我们要证明给定的数是无理数。解：（i）$\mathbf{\frac{1}{\sqrt{2}}}$假设$\frac{1}{\sqrt{2}}$是有理数。那么，$\frac{1}{\sqrt{2}}$可以写成$\frac{a}{b}$的形式，其中a和b互质，且b不等于0。因此，$\frac{1}{\sqrt{2}}\ =\ \frac{a}{b}$$\frac{b}{a}\ =\ \sqrt{2}$这里，$\frac{b}{a}$是有理数，但$\sqrt{2}$是无理数。有理数不能等于无理数。这与我们的假设$\frac{1}{\sqrt{2}}$是有理数相矛盾。因此，$\frac{1}{\sqrt{2}}$是无理数。（ii）$\mathbf{7\sqrt{5}}$假设$7\sqrt{5}$是有理数。因此，$7\sqrt{5}$可以写成$\frac{a}{b}$的形式，其中a和b互质……阅读更多
解题：这里，我们不用实际进行长除法，来检查给定的有理数是有限小数还是无限循环小数。解：如果我们有一个有理数$\frac{p}{q}$，其中$p$和$q$互质，且$q$的质因数分解形式为$2^n.5^m$，其中$n$和$m$是非负整数，那么$\frac{p}{q}$具有有限小数展开式。现在，（i）在$\frac{13}{3125}$中，$13$和$3125$互质。$3125 = 5^5 \times 2^0$，符合$2^n\ \times\ 5^m$的形式。所以，$\frac{13}{3125}$是有限小数。 （ii）在$\frac{17}{8}$中，$17$和$8$互质。$8= 2^3 \times$……阅读更多