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已知：\( \frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1} \)。要求：我们需要使给定表达式的分母有理化。解：我们知道，分母为 ${\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ 的分数的有理化因子是 ${\sqrt{a}+\sqrt{b}}$。因此，分母为 ${\sqrt{a}-1}$ 的分数的有理化因子是 ${\sqrt{a}+1}$。这意味着，$\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}=\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}\times\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}+1}$$=\frac{(\sqrt{a}+1)^2}{(\sqrt{a})^2-(1)^2}$$=\frac{(\sqrt{a})^2+2\times \sqrt{a}\times1+(1)^2}{a-1}$$=\frac{a+2\sqrt{a}+1}{a-1}$。
已知：\( a+b=5 \) 和 \( ab=2 \)要求：我们需要求(a) \( (a+b)^{2} \) (b) \( a^{2}+b^{2} \)(c) \( (a-b)^{2} \)的解：我们知道，$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$因此，(a) $(a+b)^2=(5)^2$$=25$(b) $a^2+b^2=(a+b)^2-2(ab)$$=(5)^2-2(2)$ $=25-4$$=21$ (c) $(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$$=21-2(2)$$=21-4$$=17$
已知：A，\( B \) 和 \( C \) 是 \( \Delta XYZ \) 的边的中点。\( P，Q \) 和 \( R \) 是 \( \triangle ABC \) 的边的中点。\( ABC=24 cm^{2} \)。要求：我们需要求 XYZ 和 PQR 的面积。解：我们知道，连接三角形三边中点所形成的三角形的面积等于原三角形面积的四分之一。这意味着，三角形 ABC 的面积 $=\frac{1}{4}\times$ 三角形 XYZ 的面积同样，三角形 PQR 的面积 $=\frac{1}{4}\times$ 三角形 ... 阅读更多
已知：\( X，Y \) 和 \( Z \) 是 \( \Delta PQR \) 的边的中点。\( A，B \) 和 \( C \) 是 \( \triangle XYZ \) 的边的中点。\( PQR=240 cm^{2} \)要求：我们需要求 XYZ 和 ABC 的面积。解：我们知道，连接三角形三边中点所形成的三角形的面积等于原三角形面积的四分之一。这意味着，三角形 XYZ 的面积 $=\frac{1}{4}\times$ 三角形 PQR 的面积同样，三角形 ABC 的面积 $=\frac{1}{4}\times$ 三角形 XYZ 的面积$=\frac{1}{4}\times\frac{1}{4}\times$ 三角形 ... 阅读更多
已知：在两个等腰三角形中，它们底边所对的角相等，它们的面积之比为 \( 36: 25 \)。要求：我们需要求它们对应高的比。解：设这两个三角形如下图所示：$AB=AC$，$PQ=PR$ 且 $\angle A=\angle P$$AD$ 和 $PS$ 为高。$\frac{ar(\triangle ABC)}{ar(\triangle PQR)}=\frac{36}{25}$....(i)在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle PQR$ 中，$\angle A=\angle P$$\frac{AB}{PQ}=\frac{AC}{PR}$ (因为 $\frac{AB}{AC}=\frac{PQ}{PR}$)因此，$\triangle ABC \sim\ \triangle PQR$ (根据 SAS 相似性)我们知道，如果两个三角形相似，则这两个三角形的面积之比等于它们对应边长的平方之比。$\frac{ar(\triangle ABC)}{ar(\triangle ... 阅读更多
已知：本金 $=1000$ 元利率 $=5%$ 年时间 $=292$ 天要求：我们需要求单利。解：时间 $=\frac{292}{365}$ 年 [1 年 $=365$ 天]我们知道，单利 S.I $=\frac{PRT}{100}$$=\frac{1000\times5\times\frac{292}{365}}{100}$$=\frac{10\times5\times292}{365}$$=\frac{14600}{365}$$=40$单利为 40 元。
已知：在 \( \Delta PQR \) 中，\( M \) 和 \( N \) 分别是 \( PQ \) 和 PR 的中点。\( \triangle PMN \) 的面积为 \( 24 cm^{2} \)。要求：我们需要求 \( \triangle PQR \) 的面积。解：我们知道，连接三角形三边中点所形成的三角形的面积等于原三角形面积的四分之一。同样，由一个顶点和相邻两边的中点所形成的三角形的面积等于原三角形面积的四分之一。因此，三角形 PMN 的面积 ... 阅读更多
**已知：**一个正方形墙壁的面积为 \( 1159929 \mathrm{~m}^{2} \)。粉刷墙壁的费用为每平方米 10 卢比。**要求：**我们必须找到墙壁的边长以及粉刷墙壁的费用。**解答：**边长为 $s$ 的正方形的面积为 $s^2$设正方形墙壁的边长为 $a$。因此，正方形墙壁的面积 $=a^2$$\Rightarrow 1159929=a^2$$a=\sqrt{1159929}$$a=\sqrt{(1077)^2}$$a=1077\ m$粉刷墙壁的费用 $=10 \times 1159929$卢比$=11599290$卢比
**已知：**\( \frac{7^{-5}}{5^{-3}} \times 10^{-4} \times \frac{6^{-5}}{(42)^{-6}} \) **要求：**我们必须化简给定的表达式。**解答：**我们知道，$(a^{m})^{n}=a^{m n}$$a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}$$a^{m} \div a^{n}=a^{m-n}$$a^{0}=1$因此， $ \begin{array}{l}\frac{7^{-5}}{5^{-3}} \times 10^{-4} \times \frac{6^{-5}}{( 42)^{-6}} =\frac{7^{-5} \times ( 2\times 5)^{-4} \times 6^{-5}}{5^{-3} \times ( 6\times 7)^{-6}}\\=\frac{7^{-5} \times 2^{-4} \times 5^{-4} \times 6^{-5}}{5^{-3} \times 6^{-6} \times 7^{-6}}\\=7^{( -5+6)} \times 2^{-4} \times 5^{( -4+3)} \times 6^{( -5+6)}\\=7^{1} \times 2^{-4} \times 5^{-1} \times 6^{1}\\=\frac{42}{2^{4} \times 5}\\=\frac{42}{16\times 5}\\=\frac{21}{8\times 5}\\=\frac{21}{40}\end{array}$阅读更多
**已知：**在一个智力竞赛中要颁发三个奖品。第二奖的价值是第一奖价值的五分之六，第三奖的价值是第二奖价值的五分之四。三个奖品的总价值为 \( \mathrm{Rs}. 150 \)。**要求：**我们必须找到每个奖品的价值。**解答：**三个奖品的总价值 $= 150$ 卢比设第一奖的价值为 $x$。这意味着，第二奖的价值 $= \frac{5}{6}x$第三奖的价值 $= \frac{4}{5} \times \frac{5}{6}x$$= \frac{2}{3}x$因此， $x + \frac{5}{6}x + \frac{2}{3}x = 150$$\frac{6x + 5x ... 阅读更多