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已知：两数相差 3，其积为 504。求解：我们需要求出这两个数。解：设这两个数为 $x$ 和 $x+3$。根据题意，$x(x+3)=504$，$x^2+3x=504$，$x^2+3x-504=0$。用因式分解法求解 $x$，得到 $x^2+24x-21x-504=0$，$x(x+24)-21(x+24)=0$，$(x+24)(x-21)=0$，$x+24=0$ 或 $x-21=0$，$x=-24$ 或 $x=21$。如果 $x=-24$，则 $x+3=-24+3=-21$；如果 $x=21$，则 $x+3=21+3=24$。这两个数是 -24 和 -21，或者 21 和 24。
已知：两数相差 4，其积为 192。求解：我们需要求出这两个数。解：设这两个数为 $x$ 和 $x+4$。根据题意，$x(x+4)=192$，$x^2+4x=192$，$x^2+4x-192=0$。用因式分解法求解 $x$，得到 $x^2+16x-12x-192=0$，$x(x+16)-12(x+16)=0$，$(x+16)(x-12)=0$，$x+16=0$ 或 $x-12=0$，$x=-16$ 或 $x=12$。如果 $x=-16$，则 $x+4=-16+4=-12$；如果 $x=12$，则 $x+4=12+4=16$。这两个数是 -16 和 -12，或者 12 和 16。
已知：一个两位数是其各位数字之和的 4 倍，也是其各位数字之积的 2 倍。求解：我们需要求出这个两位数。解：设这个两位数为 $10x+y$。根据题意，$10x+y=4(x+y)$ 且 $10x+y=2(xy)$，$10x-4x=4y-y$ 且 $10x+y-2xy=0$，$6x=3y$ 且 $10x+y-2xy=0$，$2x=y$ 且 $10x+y-2xy=0$，$10x+(2x)-2x(2x)=0$，$10x+2x-4x^2=0$，$12x-4x^2=0$，$4(3x-x^2)=0$，$3x-x^2=0$，$x^2-3x=0$，$x(x-3)=0$，$x=0$ 或 $x-3=0$，$x=0$ 或 $x=3$。如果 $x=0$，则 $y=2(0)=0$，但这意味着 $10x+y$ 不是两位数。如果 $x=3$，则 $y=2(3)=6$。因此，$10x+y=10(3)+6=30+6=36$。这个数是 36。阅读更多
已知：两个正整数的平方差为 180。较小数的平方是较大数的 8 倍。求解：我们需要求出这两个数。解：设这两个数为 $x$ 和 $y$，其中 $x$ 是较小的数。根据题意，$y^2-x^2=180$ 且 $x^2=8y$，$y^2-x^2=180$，$y^2-8y=180$，$y^2-8y-180=0$。用因式分解法求解 $y$，得到 $y^2-18y+10y-180=0$，$y(y-18)+10(y-18)=0$，$(y-18)(y+10)=0$，$y-18=0$ 或 $y+10=0$，$y=18$ 或 $y=-10$。-10 不是正整数，因此 $y=18$。如果 $y=18$，则 $x^2=8(18)=144$，$x^2=(12)^2$，$x=12$。这两个数分别是 18 和 12。阅读更多
已知：两数之和为 18，其倒数之和为 $\frac{1}{4}$。求解：我们需要求出这两个数。解：设这两个数为 $x$ 和 $18-x$。根据题意，$\frac{1}{x}+\frac{1}{18-x}=\frac{1}{4}$，$\frac{1(18-x)+1(x)}{x(18-x)}=\frac{1}{4}$，$\frac{18-x+x}{x(18-x)}=\frac{1}{4}$，$\frac{18}{18x-x^2}=\frac{1}{4}$，$4(18)=1(18x-x^2)$，$72=18x-x^2$，$x^2-18x+72=0$。用因式分解法求解 $x$，得到 $x^2-12x-6x+72=0$，$x(x-12)-6(x-12)=0$，$(x-12)(x-6)=0$，$x-12=0$ 或 $x-6=0$，$x=12$ 或 $x=6$。这两个数是 6 和 12。
已知：两数 a 和 b 之和为 15，其倒数 $\frac{1}{a}$ 和 $\frac{1}{b}$ 之和为 $\frac{3}{10}$。求解：我们需要求出 a 和 b。解：根据题意，$a+b=15$，$a=15-b$ ----(1)，$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{3}{10}$，$\frac{1(b)+1(a)}{a(b)}=\frac{3}{10}$，$\frac{a+b}{ab}=\frac{3}{10}$，$10(15)=3(ab)$，$150=3ab$，$3(15-b)b-150=0$ (因为 $a=15-b$)，$45b-3b^2-150=0$，$3(15b-b^2-50)=0$，$15b-b^2-50=0$，$b^2-15b+50=0$。用因式分解法求解 b，得到 $b^2-10b-5b+50=0$，$b(b-10)-5(b-10)=0$，$(b-10)(b-5)=0$，$b-10=0$ 或 $b-5=0$，$b=10$ 或 $b=5$。如果 $b=10$，则 $a=15-10=5$；如果 $b=5$，则 $a=15-5=10$。a 和 b 是 5 和 10，或者 10 和 5。阅读更多
已知：两数之和为 9，其倒数之和为 $\frac{1}{2}$。求解：我们需要求出这两个数。解：设其中一个数为 $x$。这意味着另一个数为 $9-x$。根据题意，$\frac{1}{x}+\frac{1}{9-x}=\frac{1}{2}$，$\frac{1(9-x)+1(x)}{x(9-x)}=\frac{1}{2}$，$\frac{9-x+x}{9x-x^2}=\frac{1}{2}$，$\frac{9}{9x-x^2}=\frac{1}{2}$，$2(9)=1(9x-x^2)$ (交叉相乘)，$18=9x-x^2$，$x^2-9x+18=0$。用因式分解法求解 $x$，得到 $x^2-6x-3x+18=0$，$x(x-6)-3(x-6)=0$，$(x-6)(x-3)=0$，$x-6=0$ 或 $x-3=0$，$x=6$ 或 $x=3$。如果 $x=6$，则 $9-x=9-6=3$；如果 $x=3$，则 $9-x=9-3=6$。这两个数是 3 和 6。阅读更多
已知：三个连续正整数，第一个数的平方与其他两个数的积之和为 46。求解：我们需要求出这三个整数。解：设这三个连续整数为 $x$，$x+1$ 和 $x+2$。这意味着 $x$ 的平方为 $x^2$。根据题意，$x^2+(x+1)(x+2)=46$，$x^2+x^2+x+2x+2=46$，$2x^2+3x+2-46=0$，$2x^2+3x-44=0$。用因式分解法求解 $x$，得到 $2x^2+11x-8x-44=0$，$x(2x+11)-4(2x+11)=0$，$(2x+11)(x-4)=0$，$2x+11=0$ 或 $x-4=0$，$2x=-11$ 或 $x=4$，$x=\frac{-11}{2}$ 或 $x=4$。$\frac{-11}{2}$ 不是整数。因此，$x$ 的值为 4。这三个数是 4，5 和 6。阅读更多
已知：两数的平方差为 88。较大数比较小数的两倍少 5。求解：我们需要求出这两个数。解：设这两个数为 $x$ 和 $y$，其中 $y$ 是较大数。这意味着 $y=2x-5$。根据题意，$y^2-x^2=88$，$(2x-5)^2-x^2=88$，$4x^2-20x+25-x^2=88$，$3x^2-20x+25-88=0$，$3x^2-20x-63=0$。用因式分解法求解 $x$，得到 $3x^2-27x+7x-63=0$，$3x(x-9)+7(x-9)=0$，$(3x+7)(x-9)=0$，$3x+7=0$ 或 $x-9=0$，$3x=-7$ 或 $x=9$。考虑 $x$ 的正值，得到 $x=9$，则 $y=2(9)-5=18-5=13$。这两个数是 13 和 9。阅读更多
已知：两个连续奇正整数的平方和为 970。求解：我们需要求出这两个数。解：设这两个连续奇正整数为 $2x-1$ 和 $2x+1$。根据题意，$(2x-1)^2+(2x+1)^2=970$，$4x^2-4x+1+4x^2+4x+1=970$，$8x^2+2=970$，$8x^2=970-2$，$8x^2=968$，$x^2=\frac{968}{8}$，$x^2=121$，$x^2-121=0$，$x^2-(11)^2=0$，$(x+11)(x-11)=0$，$x+11=0$ 或 $x-11=0$，$x=-11$ 或 $x=11$。我们只需要奇正整数，因此 $x$ 的值为 11。$2x-1=2(11)-1=22-1=21$，$2x+1=2(11)+1=22+1=23$。这两个奇正整数是 21 和 23。