Z 变换Z 变换是一种数学工具，用于将离散时间域中的差分方程转换为 z 域中的代数方程。在数学上，如果 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 是一个离散时间函数，则其 Z 变换定义为：$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{-\mathit{n}}}}$$Z 变换的指数序列乘法性质陈述 - Z 变换的指数乘法性质指出，时间域中乘以指数序列对应于 z 域中的缩放。指数乘法性质也称为 Z 变换的 z 域缩放性质。因此，如果$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{ZT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)};\:\mathrm{ROC}\:\mathrm{=}\:\mathit{R}}$$然后，根据指数乘法性质，$$\mathrm{\mathit{a^{\mathit{n}}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{ZT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\frac{\mathit{z}}{\mathit{a}}}\right)};\:\mathrm{ROC}\:\mathrm{=}\:\left| \mathit{a}\right|\mathit{R}}$$其中，a 是一个复数。证明根据…的定义 阅读更多

Z 变换Z 变换是一种数学工具，用于将离散时间域中的差分方程转换为 z 域中的代数方程。在数学上，如果 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 是一个离散时间函数，则其 Z 变换定义为：$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{-\mathit{n}}}}$$用卷积法求逆 Z 变换可以使用卷积定理计算逆 Z 变换。在卷积积分法中，给定的 Z 变换 X(z) 首先被分成 $\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}$ 和 $\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}$，使得 $\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}$。然后通过分别对 $\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}$ 和 $\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}$ 进行逆 Z 变换得到信号 $\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 和 $\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$。最后，通过执行…的卷积得到函数 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 阅读更多

离散时间傅里叶逆变换 (IDTFT) 定义为从其频率响应 X(ω) 中找到离散时间序列 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 的过程。在数学上，离散时间傅里叶逆变换定义为 - $$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\: \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}\mathit{e}^{\mathit{j\omega n}}\:\mathit{d\omega}\:\:\:\:\:\:...(1)}$$方程 (1) 对 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 的解对于分析目的很有用，但对于函数 X(ω) 的典型函数形式来说，它非常难以计算。因此，确定离散时间序列 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 值的另一种方法直接来自傅里叶变换的定义，即 $$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{n=-\infty }^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{e}^{-\mathit{j\omega n}}\:\mathrm{=}\:...\:\mathrm{+}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{-3}\right)}\mathit{e}^{\mathit{j}\mathrm{3}\omega}\:\mathrm{+}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{-2}\right)}\mathit{e}^{\mathit{j}\mathrm{2}\omega}\:\mathrm{+}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{-1}\right)}\mathit{e}^{\mathit{j}\omega}\:\mathrm{+}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{1}\right)}\mathit{e}^{\mathit{-j}\omega}\:\mathrm{+}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{2}\right)}\mathit{e}^{\mathit{-j}2\omega}\:\mathrm{+}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{3}\right)}\mathit{e}^{\mathit{-j}3\omega}\:\:\:\:\:\:...(2)}$$因此，从 X(ω) 的方程我们可以说，如果 X(ω) 可以表示为… 阅读更多

Z 变换Z 变换是一种数学工具，用于将离散时间域中的差分方程转换为 z 域中的代数方程。在数学上，如果 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 是一个离散时间函数，则其 Z 变换定义为：$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{-\mathit{n}}}}$$Z 变换的终值定理Z 变换的终值定理使我们能够直接从其 Z 变换中计算序列 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 的稳态值，即 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{\infty}\right)}$，而无需找到其逆 Z 变换。陈述 - 如果 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 是一个因果序列，则 Z 变换的终值定理指出，如果，$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{ZT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$$并且如果 Z 变换 X(z) 在…之外没有极点 阅读更多

Z 变换Z 变换是一种数学工具，用于将离散时间域中的差分方程转换为 z 域中的代数方程。在数学上，如果 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 是一个离散时间函数，则其 Z 变换定义为：$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{-\mathit{n}}}}$$Z 变换的初值定理初值定理使我们能够直接从其 Z 变换 X(z) 中计算信号 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 的初始值，即 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}$，而无需找到 X(z) 的逆 Z 变换。陈述 - Z 变换的初值定理指出，如果$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{ZT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$$其中，$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 是一个因果序列。然后，$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}\:\mathrm{=}\:\displaystyle \lim_{\mathit{n} \to 0}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\displaystyle \lim_{\mathit{z} \to \infty }\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$$证明根据…的定义 阅读更多

离散时间傅里叶变换可以使用离散时间傅里叶变换在频域中表示离散时间信号。因此，离散时间序列的傅里叶变换称为离散时间傅里叶变换 (DTFT)。在数学上，如果 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 是一个离散时间序列，则其离散时间傅里叶变换定义为 - $$\mathrm{\mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n }\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{e^{-\mathit{j\omega n}}}}$$离散时间序列 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 的离散时间傅里叶变换 X(ω) 表示序列 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 的频率内容。因此，通过对离散时间序列进行傅里叶变换，序列被分解成其频率分量。出于这个原因，DTFT X(ω) 也称为信号频谱。离散时间傅里叶变换存在的条件… 阅读更多

离散时间傅里叶变换离散时间序列的傅里叶变换称为离散时间傅里叶变换 (DTFT)。在数学上，离散时间序列 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 的离散时间傅里叶变换 (DTFT) 定义为 - $$\mathrm{\mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n }\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{e^{-\mathit{j\omega n}}}}$$离散时间傅里叶变换的时间平移性质陈述 - 离散时间傅里叶变换的时间平移性质指出，如果信号 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 在时间域中平移 k，则其 DTFT 乘以 $\mathit{e^{-j\omega k }}$。因此，如果$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{FT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}}$$然后$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n-k}\right)}\overset{\mathit{FT}}{\leftrightarrow}\mathit{e^{-j\omega k }}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}}$$其中，k 是一个整数。证明根据离散时间傅里叶变换的定义，我们有：$$\mathrm{\mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{e^{-\mathit{j\omega n}}}}$$$$\mathrm{\therefore\mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n-k}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n-k}\right)}\mathit{e^{-\mathit{j\omega n}}}}$$将 $\mathrm{\left(\mathit{n-k}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{m}$ 然后 $\mathit{n}\:\mathrm{=}\:\mathrm{\left(\mathit{m\mathrm{+}k}\right)}$ 代入上述求和中，我们得到：… 阅读更多

Z变换Z变换是一种数学工具，用于将离散时间域中的差分方程转换为z域中的代数方程。数学上，如果$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$是一个离散时间函数，则其Z变换定义为：$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{-\mathit{n}}}}$$z域微分性质Z变换陈述 - Z变换的z域微分性质指出，时间域中的n乘以对应于z域中的微分。此性质也称为Z变换的n乘法性质。因此，如果$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{ZT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)};\:\:\mathrm{ROC}\:\mathrm{=}\:\mathit{R}}$$那么，根据z域微分性质，$$\mathrm{\mathit{n}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{ZT}}{\leftrightarrow}\mathit{-z}\frac{\mathit{d}}{\mathit{dz}}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)};\:\:\mathrm{ROC}\:\mathrm{=}\:\mathit{R}}$$证明根据Z变换的定义，我们有：$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left [\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right ]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z}^{-\mathit{n}}}$$对上述公式进行微分... 阅读更多

离散时间傅里叶变换离散时间序列的傅里叶变换称为离散时间傅里叶变换（DTFT）。数学上，离散时间序列$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$的离散时间傅里叶变换（DTFT）定义为：$$\mathrm{\mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{e^{-\mathit{j\omega n}}}}$$DTFT的频域微分性质陈述 - 离散时间傅里叶变换的频域微分性质指出，离散时间序列$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$乘以n等效于其离散时间傅里叶变换在频域中的微分。因此，如果，$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{FT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}}$$那么$$\mathrm{\mathit{n}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{FT}}{\leftrightarrow}\mathit{j}\frac{\mathit{d}}{\mathit{d\omega }}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}}$$证明根据DTFT的定义，我们有：$$\mathrm{\mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{e^{-\mathit{j\omega n}}}}$$对两边关于ω求导，得到：$$\mathrm{\frac{\mathit{d}}{\mathit{d\omega }}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{d}}{\mathit{d\omega}}\mathrm{\left[\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{e^{-\mathit{j\omega n}}} ... 阅读更多

Z变换Z变换是一种数学工具，用于将离散时间域中的差分方程转换为z域中的代数方程。数学上，如果$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$是一个离散时间函数，则其Z变换定义为：$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{-\mathit{n}}}}$$Z变换的相关性性质陈述 - Z变换的相关性性质指出，如果，$$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{ZT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{and}\:\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{ZT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$$那么$$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\otimes \mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{ZT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}^{-\mathrm{1}}\right)}}$$其中$$\mathrm{\mathit{R}_{\mathrm{12}}\mathrm{\left ( \mathit{n} \right )}\:\mathrm{=}\:\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\otimes \mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$证明根据Z变换的定义，我们有：$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{-\mathit{n}}}}$$$$\mathrm{\mathit{\therefore \mathit{Z}\mathrm{\left[ \mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\otimes \mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right ]}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathrm{\left[ \mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\otimes \mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right ]}\mathit{z}^{-n}}\:\:\:\:\:\:...(1)}$$两个信号的相关性定义为：$$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\otimes \mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{k=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{k}\right)}\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{k-n}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{k=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{k-n}\right)}\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{k}\right)}\:\:\:\:\:\:...(2)}$$因此，根据公式(1)和(2)，我们得到：$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\otimes \mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right ]}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}}\mathrm{\left[\sum_{\mathit{k=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{k}\right)}\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{k-n}\right)} \right ]}\mathit{z}^{-n}$$重新排列求和顺序，得到：$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\otimes \mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \right ]}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{k=-\infty}}^{\infty}\:\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{k}\right)}\mathrm{\left[\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{k-n}\right)}\mathit{z}^{-n} ... 阅读更多