拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将时域中的微分方程转换为频域或 s 域中的代数方程。数学上，如果 $\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$ 是一个时域函数，则其拉普拉斯变换定义为 −$$\mathrm{\mathit{L\left [ x\left ( t \right ) \right ]\mathrm{\mathrm{=}}X\left ( s \right )\mathrm{\mathrm{=}}\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-st}\:dt}}$$全波整流正弦波函数的拉普拉斯变换全波整流正弦波函数如图 1 所示，由下式给出：$$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )=\mathrm{sin}\: \omega t;\; \; \mathrm{for\: 0}< \mathit{t}< \frac{\pi }{\omega }}}$$The ... 阅读更多

拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将时域中的微分方程转换为频域或 s 域中的代数方程。数学上，如果 $\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$ 是一个时域函数，则其拉普拉斯变换定义为 −$$\mathrm{\mathit{L\left [ x\left ( t \right ) \right ]\mathrm{\mathrm{=}}X\left ( s \right )\mathrm{\mathrm{=}}\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-st}\; dt\; \; \; \cdot \cdot \cdot \left ( \mathrm{1} \right )}}$$此外，函数的反拉普拉斯变换定义为：$$\mathrm{\mathit{L^{-\mathrm{1}}\left [X\left ( s \right ) \right ]\mathrm{\mathrm{=}}x\left ( t \right ) \mathrm{\mathrm{=}}\int_{\sigma ... 阅读更多

如图 1 所示，一个由电阻 (R) 和电容 (C) 串联组成的电路。假设开关 (S) 在 $\mathrm{\mathit{t=\mathrm{0}}}$ 时闭合。使用拉普拉斯变换计算串联 RC 电路的阶跃响应为了获得串联 RC 电路的阶跃响应，施加的输入由下式给出：$$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )\mathrm{=}Vu\left ( t \right )}}$$通过对电路应用 KVL，得到以下描述串联 RC 电路的方程：$$\mathrm{\mathit{Vu\left ( t \right )\mathrm{=}Ri\left ( t \right )\mathrm{\: +\: }\frac{\mathrm{1}}{C}\int_{-\infty }^{t}i\left ( t \right )dt}}$$该方程可以写成：$$\mathrm{\mathit{Vu\left ( t \right )\mathrm{=}Ri\left ... 阅读更多

如图 1 所示，一个由电阻 (R) 和电感 (L) 串联组成的电路。假设开关 (S) 在时间 $\mathrm{\mathit{ t=\mathrm{0}}}$ 时闭合。串联 RL 电路的阶跃响应为了获得串联 RL 电路的阶跃响应，施加到电路的输入 $\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$ 由下式给出：$$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )\mathrm{=}Vu\left ( t \right )}}$$现在，通过在回路中应用 KVL，我们得到以下微分方程：$$\mathrm{\mathit{Vu\left ( t \right )\mathrm{=}Ri\left ( t \right )\mathrm{+}L\frac{di\left ( t \right )}{dt}}}$$对两边进行拉普拉斯变换，得到：$$\mathrm{\mathit{\frac{V}{s}\mathrm{=}RI\left ... 阅读更多

拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将时域中的微分方程转换为频域或 s 域中的代数方程。数学上，如果 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 是一个时域函数，则其拉普拉斯变换定义为 −$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[ \mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-st}}\:\mathit{dt}\:\:\:\:\:\:...(1)}$$等式 (1) 给出了函数 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 的双边拉普拉斯变换。但对于因果信号，则应用单边拉普拉斯变换，其定义为：$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[ \mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\int_{\mathrm{0}}^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-st}}\:\mathit{dt}\:\:\:\:\:\:...(2)}$$冲激函数的拉普拉斯变换冲激函数定义为：$$\mathrm{\mathit{\delta}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathrm{=}\begin{cases} 1& \text{ for } t= 0 \ 0 & \text{ for } teq 0 \end{cases}}$$因此，根据定义 ... 阅读更多

拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将时域中的微分方程转换为频域或 s 域中的代数方程。数学上，如果 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 是一个时域函数，则其拉普拉斯变换定义为 −$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-st}}\:\mathit{dt}\:\:\:\:\:\:...(1)}$$等式 (1) 给出了函数 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 的双边拉普拉斯变换。但对于因果信号，则应用单边拉普拉斯变换，其定义为：$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\int_{\mathrm{0}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-st}}\:\mathit{dt}\:\:\:\:\:\:...(2)}$$阻尼正弦函数的拉普拉斯变换阻尼正弦函数由下式给出：$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{e^{-at}}\:\mathrm{sin}\:\mathit{\omega t\:\mathit{u}\mathrm{\left( \mathit{t}\right)}}\:\mathrm{=}\:\mathit{e^{-at}}\mathrm{\left( \frac{\mathit{e^{j\omega t}-e^{-j\omega t}}}{2\mathit{j}} \right )}\mathit{u}\mathrm{\left(\mathit{t}\right )}}$$现在，根据拉普拉斯变换的定义，我们得到： ... 阅读更多

什么是收敛域？收敛域 (ROC) 定义为 s 平面中的一组点，对于这些点，函数 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 的拉普拉斯变换收敛。换句话说，$\mathit{Re}\mathrm{\left(\mathit{s} \right)}$（即 σ）的范围，其中函数 $\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}$ 收敛，称为收敛域。右端信号的 ROC如果信号 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 在 t < $\mathit{T}_{\mathrm{1}}$ 时为 0，则称信号 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 为右端信号，其中 $\mathit{T}_{\mathrm{1}}$ 是某个有限时间，如图 1 所示。对于右端信号 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$，拉普拉斯变换 $\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}$ 的 ROC 为 $\mathit{Re}\mathrm{\left(\mathit{s} \right )}>\mathrm{\sigma _{\mathrm{1}}}$，其中 $\mathrm{\sigma _{\mathrm{1}}}$ 为 ... 阅读更多

功率谱密度信号 $x\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 的平均功率在频域中的分布称为功率谱密度 (PSD) 或功率密度 (PD) 或功率密度谱。PSD 函数用 $\mathit{S\mathrm{\left({\mathit{\omega }}\right)}}$ 表示，由下式给出：$$\mathrm{\mathit{S}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}\mathrm{=}\displaystyle\lim_{\tau \to \infty }\frac{\left| \mathit{X\mathrm{\left ( \mathit{\omega}\right)}}\right|^{2}}{\tau}\:\:\:\:\:\:...(1)}$$解释为了推导出功率谱密度 (PSD) 函数，将功率信号视为能量信号的极限情况，即信号 $\mathit{Z\mathrm{\left({\mathit{t }}\right)}}$ 在区间 $\left|\tau /2 \right|$ 外为零，如图所示。信号 $\mathit{Z\mathrm{\left({\mathit{t }}\right)}}$ 由下式给出：$$\mathrm{\mathit{Z\mathrm{\left({\mathit{t }}\right)}}\mathrm{=}\begin{cases} x\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\left|t \right|阅读更多

什么是数据重建？数据重建定义为从采样信号 $x_{\mathit{s}}\mathrm{\left ( \mathit{t}\right)}$ 获取模拟信号 $x\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 的过程。数据重建也称为插值。采样信号由下式给出：$$\mathrm{\mathit{x}_{\mathit{s}}\mathrm{\left ( \mathit{t}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\sum_{\mathit{n}=-\infty}^{\infty}\:\delta \mathrm{\left ( \mathit{t-nT} \right )}}$$$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{x}_{\mathit{s}}\mathrm{\left ( \mathit{t}\right)}\:\mathrm{=}\sum_{\mathit{n}=-\infty}^{\infty}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{nT}\right )}\delta\mathrm{\left(\mathit{t-nT}\right)}}$$其中，$\mathit{\delta}\mathrm{\left(\mathit{t-nT} \right)}$ 除了在 t = nT 时刻以外均为零。一个假定为线性时不变的重建滤波器具有单位冲激响应 $\mathit{h\mathrm{\left({\mathit{t}}\right)}}$。重建滤波器的输出由卷积给出，如下所示：$$\mathrm{\mathit{y\mathrm{\left({\mathit{t}}\right)}}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty}^{\infty}\sum_{\mathit{n}=-\infty}^{\infty}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{nT} \right )}\delta\mathrm{\left(\mathit{k-nT} \right)}\mathit{h}\mathrm{\left ( \mathit{t-k} \right )}\mathit{dk}}$$通过重新排列顺序 ... 阅读更多

什么是收敛域？收敛域 (ROC) 定义为 s 平面上使函数 $\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$ 的拉普拉斯变换收敛的点的集合。换句话说，函数 𝑋(𝑠) 收敛的 𝑅𝑒(𝑠)（即 𝜎）范围称为收敛域。双边信号的 ROC如果一个信号 $\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$ 从 -∞ 延伸到 +∞，则称该信号为双边信号。双边信号可以表示为两个不重叠信号的和，其中一个是右边信号，另一个是... 阅读更多