拉普拉斯变换 拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将时域中的微分方程转换为频域或 s 域中的代数方程。数学上，如果$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$是时域函数，则其拉普拉斯变换定义为：$$\mathrm{\mathit{L\left [ x\left ( t \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }X\left ( s \right )\mathrm{\, =\, }\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-st}\:dt \; \; \cdot \cdot \cdot \left ( \mathrm{1} \right )}}$$公式 (1) 给出了函数 $\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$ 的双边拉普拉斯变换。但是对于因果信号，… 阅读更多

拉普拉斯变换 拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将时域中的微分方程转换为频域或 s 域中的代数方程。数学上，如果$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$是时域函数，则其拉普拉斯变换定义为：$$\mathrm{\mathit{L\left [ x\left ( t \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }X\left ( s \right )\mathrm{\, =\, }\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-st}\:dt }}$$拉普拉斯变换的时间反转特性陈述——拉普拉斯变换的时间反转特性指出，如果一个信号在时间上关于原点垂直轴反转…… 阅读更多

拉普拉斯变换 拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将时域中的微分方程转换为频域或 s 域中的代数方程。数学上，如果$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$是时域函数，则其拉普拉斯变换定义为：$$\mathrm{\mathit{L\left [ x\left ( t \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }X\left ( s \right )\mathrm{\, =\, }\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-st}\:dt\; \; \cdot \cdot \cdot\left ( \mathrm{1} \right ) }}$$公式 (1) 给出了函数 $\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$ 的双边拉普拉斯变换。但是对于因果信号，单边… 阅读更多

反Z变换 反Z变换定义为从其Z变换$\mathrm{\mathit{X\left ( z \right )}}$中找到时域信号$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )}}$的过程。反Z变换表示为：$$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )\mathrm{\, =\, }Z^{-\mathrm{1}}\left [ X\left ( z \right ) \right ]}}$$由于Z变换定义为：$$\mathrm{\mathit{X\left ( z \right )\mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )z^{-n}\; \; \; \cdot \cdot \cdot \left ( \mathrm{1} \right )}}$$其中，z 是一个复变量，由下式给出：$$\mathrm{\mathit{z\mathrm{\, =\, }r\, e^{j\, \omega }}}$$其中，r 是… 阅读更多

拉普拉斯变换 拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将时域中的微分方程转换为频域或 s 域中的代数方程。数学上，如果 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 是时域函数，则其拉普拉斯变换定义为：$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty }^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathit{st}}\:\mathit{dt}}}$$使用拉普拉斯变换求解微分方程 线性时不变 (LTI) 系统由常系数微分方程描述，这些方程将系统的输入和输出联系起来。LTI 系统的响应是通过求解这些微分方程获得的。拉普拉斯变换技术可用于求解描述… 阅读更多

Z变换 Z变换是一种数学工具，用于将时域中的差分方程转换为z域中的代数方程。数学上，离散时间信号或序列$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$的Z变换定义为：$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty }}^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z}^{-\mathit{n}}}$$Z变换的性质 下表重点介绍了Z变换的一些重要性质：性质 时域 z域 收敛域 (ROC) 符号$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$$\mathrm{\mathit{R}}$$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$\mathrm{\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$$\mathrm{\mathit{R}_{\mathrm{1}}}$$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$\mathrm{\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$$\mathrm{\mathit{R}_{\mathrm{2}}}$线性与叠加$\mathrm{\mathit{a}\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n} \right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{b}\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n} \right)}}$$\mathrm{\mathit{a}\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{z} \right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{b}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$$\mathrm{\mathit{R}_{\mathrm{1}}\:\cap \mathit{R}_{\mathrm{2}}}$时间平移$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n-k}\right)}}$$\mathrm{\mathit{z}^{-\mathit{k}}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$$\mathrm{\mathrm{与}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\mathrm{相同，除了}\mathit{z}\:\mathrm{=}\:\mathrm{0}}$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n\mathrm{+}\mathit{k}}\right)}}$$\mathrm{\mathit{z}^{\mathit{k}}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$$\mathrm{\mathrm{与}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\mathrm{相同，除了}\mathit{z}\:\mathrm{=}\:\mathrm{\infty}}$z域缩放$\mathrm{\mathit{a}^{\mathit{n}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left( \frac{\mathit{z}}{\mathit{a}}\right )}}$$\mathrm{\left|\mathit{a}\right|\mathit{R}_{\mathrm{1}}阅读更多

拉普拉斯变换 拉普拉斯变换是一种数学工具，用于将时域中的微分方程转换为频域或 s 域中的代数方程。数学上，时域函数 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 的拉普拉斯变换定义为：$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\int_{\mathrm{0} }^{\mathrm{\infty} }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathit{st}}\:\mathit{dt}}}$$其中，s 是一个复变量，由下式给出：$$\mathrm{\mathit{s}\:\mathrm{=}\:\sigma \:\mathrm{+}\:\mathit{j\omega}}$$运算符 L 称为拉普拉斯变换运算符，它将域函数 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 转换为频域函数 X(s)。拉普拉斯变换的性质 下表重点介绍了拉普拉斯变换的一些重要性质：性质 函数 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 拉普拉斯变换 $\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}$ 符号$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}}$$\mathrm{\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}$$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}}$$\mathrm{\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}$标量乘法$\mathrm{\mathit{k}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}}$$\mathrm{\mathit{k}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}$线性$\mathrm{\mathit{a}\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left( \mathit{t}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{b}\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left( \mathit{t}\right)}}$$\mathrm{\mathit{a}\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left( \mathit{s }\right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{b}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}$时间平移$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t-t_{\mathrm{0}}}\right)}}$$\mathrm{\mathit{e}^{- ... 阅读更多

离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换 (DTFT) 是一种将离散时间序列转换为频域的数学工具。因此，离散时间信号或序列的傅里叶变换称为离散时间傅里叶变换 (DTFT)。数学上，如果$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$是一个离散时间序列，则该序列的离散时间傅里叶变换定义为 −$$\mathrm{\mathit{F}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty }}^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{e}^{-\mathit{j\omega n}}}$$离散时间傅里叶变换的性质下表列出了离散时间傅里叶变换的重要性质：性质离散时间序列DTFT符号$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}}$$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$\mathrm{\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}}$$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$\mathrm{\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}}$线性$\mathrm{\mathit{a}\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left( \mathit{n}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{b}\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$\mathrm{\mathit{a}\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left( \mathit{\omega }\right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{b}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}}$时间位移$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n-k}\right)}}$$\mathrm{\mathit{e}^{\mathit{-j\omega k}}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}}$频率位移$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{e}^{\mathit{j\omega} _{\mathrm{0}}\mathit{n}}}$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega -\omega _{\mathrm{0}}}\right)}}$时间反转$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{-n}\right)}}$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{-\omega}\right)}}$频率微分$\mathrm{\mathit{n}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$\mathrm{\mathit{j}\frac{\mathit{d}}{\mathit{d\omega}}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}}$时间卷积$\mathrm{\mathit{x}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:*\:\mathit{x}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}}$$\mathrm{\mathit{X}_{\mathrm{1}}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}\mathit{X}_{\mathrm{2}}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}}$频率…阅读更多

反Z变换反Z变换定义为从其Z变换$\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}$中找到时域信号$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$的过程。反Z变换表示为 −$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{Z}^{-\mathrm{1}}\mathrm{\left[\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\right]}}$$利用部分分式展开法求反Z变换为了利用部分分式展开法确定$\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}$的反Z变换，$\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}$的分母必须采用因式分解的形式。在这种方法中，我们得到$\frac{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}{\mathit{z}}$而不是$\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}$的部分分式展开。这是因为时域序列的Z变换在其分子中具有Z。只有当$\frac{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}{\mathit{z}}$是真有理函数时，才适用部分分式展开法，即阶数…阅读更多

平均功率信号的平均功率定义为信号（如单位电阻上的电压或电流）在一个周期内耗散的平均功率。数学上，平均功率由下式给出：$$\mathit{P}\:\mathrm{=}\:\lim_{T \rightarrow \infty}\frac{1}{\mathit{T}}\int_{\mathrm{-(\mathit{T}/\mathrm{2})}}^{\mathrm{(\mathit{T}/\mathrm{2})}}|\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}|^\mathrm{2}\:\mathit{dt}$$帕塞瓦尔功率定理陈述 − 帕塞瓦尔功率定理指出，信号的功率等于离散频谱中存在的各种谐波分量的幅度平方的和。数学上，帕塞瓦尔功率定理定义为 −$$\mathit{P}\:\mathrm{=}\:\displaystyle\sum\limits_{n=-\infty}^\infty |\mathit{C}_\mathit{n}|^2$$证明考虑一个函数$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}$。那么，信号$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}$在一个完整周期内的平均功率由下式给出：$$\mathit{P}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{\mathit{T}}\int_{\mathrm{-(\mathit{T}/\mathrm{2})}}^{\mathrm{(\mathit{T}/\mathrm{2})}}|\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}|^\mathrm{2}\:\mathit{dt}$$ $$\because|\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}|^\mathrm{2}\:\mathrm{=}\: ... 阅读更多