将下列问题表示成方程组，并求解
(i) 丽图在顺流中航行20公里需要2小时，在逆流中航行4公里需要2小时。求她在静水中划船的速度和水流的速度。
(ii) 2个妇女和5个男人一起完成一件刺绣作品需要4天，而3个妇女和6个男人一起完成需要3天。求1个妇女单独完成这件作品所需的时间，以及1个男人单独完成所需的时间。
(iii) 鲁希回家路程300公里，部分路程乘火车，部分路程乘公共汽车。如果她乘火车行驶60公里，其余路程乘公共汽车，则需要4小时。如果她乘火车行驶100公里，其余路程乘公共汽车，则需要多花10分钟。分别求火车的速度和公共汽车的速度。

待办事项

我们需要将给定的问题表示成方程组，并求解。

解答

(i) 设水流速度为$x\ km/hr$，她在静水中划船的速度为$y\ km/hr$。

逆流速度 $=y−x\ km/hr$

顺流速度 $=y+x\ km/hr$

$时间=\frac{距离}{速度}$

丽图在顺流中航行20公里需要2小时。

所需时间 $=\frac{20}{y+x}$

$2=​\frac{20}{y+x}$

$2(y+x)=20$

$y+x=10$.....(i)

丽图在逆流中航行4公里需要2小时。

所需时间 $=\frac{4}{y-x}$

$2=​\frac{4}{y-x}$

$2(y-x)=4$

$y-x=2$.....(ii)

将方程(i)和(ii)相加，得到：

$y+x+y-x=10+2$

$2y=12$

$y=\frac{12}{2}$ 

$y=6\ km/hr$

这意味着：

$6-x=2$

$x=6-2$

$x=4\ km/hr$

因此：

她在静水中划船的速度为6公里/小时，水流速度为4公里/小时。 

(ii) 设一个男人单独完成一件刺绣作品需要$x$天。

这意味着：

一个男人一天完成的工作量 $=\frac{1}{x}$。

设一个妇女单独完成刺绣作品需要$y$天。

这意味着：

一个妇女一天完成的工作量 $=\frac{1}{y}$。

在第一种情况下，2个妇女和5个男人一起完成一件刺绣作品需要4天。

5个男人一天完成的工作量 $=5\times\frac{1}{x}=\frac{5}{x}$。

2个妇女一天完成的工作量 $=2\times\frac{1}{y}=\frac{2}{y}$。

根据题意：

$4(\frac{5}{x}+\frac{2}{y})=1$

$\frac{20}{x}+\frac{8}{y}=1$....(i)

在第二种情况下，6个男人和3个妇女完成这件作品需要3天。

6个男人一天完成的工作量 $=6\times\frac{1}{x}=\frac{6}{x}$。

3个妇女一天完成的工作量 $=3\times\frac{1}{y}=\frac{3}{y}$。

根据题意：

$3(\frac{6}{x}+\frac{3}{y})=1$

$\frac{18}{x}+\frac{9}{y}=1$....(ii)

将方程(i)乘以9，方程(ii)乘以8，得到：

$9(\frac{20}{x}+\frac{8}{y})=9(1)$

$\frac{180}{x}+\frac{72}{y}=9$.....(iii)

$8(\frac{18}{x}+\frac{9}{y})=8(1)$

$\frac{144}{x}+\frac{72}{y}=8$.....(iv)

用(iii)减去(iv)，得到：

$\frac{180}{x}+\frac{72}{y}-(\frac{144}{x}+\frac{72}{y})=9-8$

$\frac{180-144}{x}=1$

$x=36$

将$x=36$代入(i)，得到：

$\frac{20}{36}+\frac{8}{y}=1$

$\frac{8}{y}=1-\frac{5}{9}$

$\frac{8}{y}=\frac{9-5}{9}$

$\frac{8}{y}=\frac{4}{9}$

$y=\frac{8\times9}{4}$

$y=18$

因此，一个男人单独完成需要36天，一个妇女单独完成需要18天。

(iii) 回家总路程 $=300\ km$。

设火车的速度为$x$ km/hr，公共汽车的速度为$y$ km/hr。

我们知道：

时间 $=$ 距离 $\div$ 速度

在第一种情况下，如果她乘火车行驶60公里，其余路程乘公共汽车，则需要4小时。

所需时间 $=\frac{60}{x}+\frac{300-60}{y}$

$\Rightarrow \frac{60}{x}+\frac{240}{y}=4$.....(i)

在第二种情况下，如果她乘火车行驶100公里，其余路程乘公共汽车，则需要多花10分钟。

所需时间 $=\frac{100}{x}+\frac{300-100}{y}$

$\Rightarrow \frac{100}{x}+\frac{200}{y}=4+\frac{10}{60}$

$\Rightarrow \frac{100}{x}+\frac{200}{y}=4+\frac{1}{6}$

$\Rightarrow \frac{100}{x}+\frac{200}{y}=\frac{4\times6+1}{6}$

$\Rightarrow \frac{100}{x}+\frac{200}{y}=\frac{25}{6}$......(ii)

将方程(i)乘以5，方程(ii)乘以3，得到：

$5(\frac{60}{x}+\frac{240}{y})=5(4)$

$\frac{300}{x}+\frac{1200}{y}=20$....(iii)

$3(\frac{100}{x}+\frac{200}{y})=3(\frac{25}{6})$

$\frac{300}{x}+\frac{600}{y}=\frac{25}{2}$.....(iv)

用(iii)减去(iv)，得到：

$\frac{300}{x}+\frac{1200}{y}-\frac{300}{x}-\frac{600}{y}=20-\frac{25}{2}$

$\frac{1200-600}{y}=\frac{20(2)-25}{2}$

$\frac{600}{y}=\frac{15}{2}$

$y=\frac{600\times2}{15}$

$y=40\times2=80$

将$y=80$代入方程(i)，得到：

$\frac{60}{x}+\frac{240}{80}=4$

$\frac{60}{x}+3=4$

$\frac{60}{x}=4-3=1$

$x=60(1)$

$x=60$

因此，火车的速度是$60\ km/hr$，公共汽车的速度是$80\ km/hr$。 

教程点

更新于：2022年10月10日

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