在给定图形中，ABC 和 DBC 是同底 BC 上的两个三角形。如果 AD 与 BC 相交于 O，证明：$\frac{\operatorname{ar}(\triangle \mathbf{A B C})}{\operatorname{ar}(\triangle \mathbf{D B C})}=\frac{\mathbf{A O}}{\mathbf{D O}}$
"

已知

ABC 和 DBC 是同底 BC 上的两个三角形。

AD 与 BC 相交于 O

要求

我们必须证明：$\frac{\operatorname{ar}(\triangle \mathbf{A B C})}{\operatorname{ar}(\triangle \mathbf{D B C})}=\frac{\mathbf{A O}}{\mathbf{D O}}$

解答

作 AM⊥BC 和 DN⊥BC

在△AOM 和△DON 中，

∠AOM = ∠DON (对顶角)

∠AMO = ∠DNO = 90°

因此，根据 AA 相似性，

△AOM ∽ △DON

这意味着，

$\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{DN}}=\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{DO}}$ (对应边成比例)

因此，

$\frac{\operatorname{ar} \Delta \mathrm{ABC}}{\operatorname{ar} \Delta \mathrm{DBC}}=\frac{\frac{1}{2} \times \mathrm{BC} \times \mathrm{AM}}{\frac{1}{2} \times \mathrm{BC} \times \mathrm{DN}}$

= $\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{DN}}$

$\frac{\operatorname{ar} \triangle \mathrm{ABC}}{\operatorname{ar} \triangle \mathrm{DBC}}=\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{DO}}$ (因为 $\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{DN}}=\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{DO}}$ )

证毕。

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更新于：2022年10月10日

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