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法律研究在给定图形中，ABC 和 DBC 是同底 BC 上的两个三角形。如果 AD 与 BC 相交于 O，证明：\( \frac{\operatorname{ar}(\triangle \mathbf{A B C})}{\operatorname{ar}(\triangle \mathbf{D B C})}=\frac{\mathbf{A O}}{\mathbf{D O}} \)
"
已知
ABC 和 DBC 是同底 BC 上的两个三角形。
AD 与 BC 相交于 O
要求
我们必须证明：\( \frac{\operatorname{ar}(\triangle \mathbf{A B C})}{\operatorname{ar}(\triangle \mathbf{D B C})}=\frac{\mathbf{A O}}{\mathbf{D O}} \)
解答
作 AM⊥BC 和 DN⊥BC
在△AOM 和△DON 中，
∠AOM = ∠DON (对顶角)
∠AMO = ∠DNO = 90°
因此，根据 AA 相似性，
△AOM ∽ △DON
这意味着，
\( \frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{DN}}=\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{DO}} \) (对应边成比例)
因此，
\( \frac{\operatorname{ar} \Delta \mathrm{ABC}}{\operatorname{ar} \Delta \mathrm{DBC}}=\frac{\frac{1}{2} \times \mathrm{BC} \times \mathrm{AM}}{\frac{1}{2} \times \mathrm{BC} \times \mathrm{DN}} \)
= \( \frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{DN}} \)
\( \frac{\operatorname{ar} \triangle \mathrm{ABC}}{\operatorname{ar} \triangle \mathrm{DBC}}=\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{DO}} \) (因为 \( \frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{DN}}=\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{DO}} \) )
证毕。
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