已知$\triangle ABC$的顶点为$A (4, 2), B (6, 5)$和$C (1, 4)$。在中线BE和CF上分别找到点Q和R，使得$BQ : QE = 2 : 1$和$CR : RF = 2 : 1$。你观察到了什么？

已知

$\triangle ABC$的顶点为$A (4, 2), B (6, 5)$和$C (1, 4)$。

$BQ : QE = 2 : 1$和$CR : RF = 2 : 1$。

要求

我们需要找到中线BE和CF上点Q和R的坐标。

解答

$D$是BC的中点。

这意味着，

使用中点公式，我们得到：

$D$的坐标为$(\frac{6+1}{2}, \frac{5+4}{2})$

$=(\frac{7}{2},\frac{9}{2})$ 

类似地，

$E$的坐标为$(\frac{4+1}{2}, \frac{2+4}{2})$

$=(\frac{5}{2},3)$ 

$F$的坐标为$(\frac{4+6}{2}, \frac{2+5}{2})$

$=(5,\frac{7}{2})$ 

$AP : PD = 2 : 1$。

使用分点公式，我们得到：

$(x,y)=(\frac{m x_{2}+n x_{1}}{m+n}, \frac{m y_{2}+n y_{1}}{m+n})$

$P$的坐标为$(\frac{2 \times \frac{7}{2}+1 \times 4}{1+2}, \frac{2 \times \frac{9}{2}+1 \times 2}{1+2})$

$=(\frac{7+4}{3}, \frac{9+2}{3})$

$=(\frac{11}{3}, \frac{11}{3})$

$Q$的坐标为$(\frac{2 \times \frac{5}{2}+1 \times 6}{1+2}, \frac{2 \times 3+1 \times 5}{1+2})$

$=(\frac{5+6}{3}, \frac{6+5}{3})$

$=(\frac{11}{3}, \frac{11}{3})$

$CR : RF = 2 : 1$

$R$的坐标为$(\frac{2 \times 5+1 \times 1}{1+2}, \frac{2 \times \frac{7}{2}+1 \times 4}{1+2})$

$=(\frac{10+1}{3}, \frac{7+4}{3})$

$=(\frac{11}{3}, \frac{11}{3})$

我们观察到$P, Q$和$R$的坐标相同。$P, Q$和$R$重合。

三角形各边的中线都经过同一点，该点称为三角形的重心。因此，$(\frac{11}{3},\frac{11}{3})$是三角形ABC的重心。

$Q$和$R$的坐标为$(\frac{11}{3}, \frac{11}{3})$。

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更新于：2022年10月10日

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