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法律研究一座建筑物呈圆柱形，顶部是一个半球形拱顶，内部容积为 \( 41 \frac{19}{21} \mathrm{~m}^{3} \)。如果拱顶的内径等于其从地面到顶部的总高度，求这座建筑物的高度？
已知
一座建筑物呈圆柱形，顶部是一个半球形拱顶，内部容积为 \( 41 \frac{19}{21} \mathrm{~m}^{3} \)。
拱顶的内径等于其从地面到顶部的总高度。
要求
我们需要求出建筑物的高度。
解答
设建筑物的总高度为 $2r$。
这意味着：
拱顶的内径 $= 2r$
拱顶的半径 $=\frac{2r}{2}$
$ = r$
圆柱部分的高度 $= 2r-r$
$= r$
因此：
圆柱部分的体积 $=\pi r^{2}(r)$
$=\pi r^{3} \mathrm{~m}^{3}$
半球形拱顶的体积 $=\frac{2}{3} \pi r^{3} \mathrm{~m}^{3}$
建筑物的总体积 $=$ 圆柱部分的体积 $+$ 半球形拱顶的体积
$=\pi r^{3}+\frac{2}{3} \pi r^{3}$
$=\frac{5}{3} \pi r^{3} \mathrm{~m}^{3}$
建筑物的体积 $=$ 空气的体积
$\Rightarrow \frac{5}{3} \pi r^{3}=41 \frac{19}{21}$
$\Rightarrow \frac{5}{3} \pi r^{3}=\frac{880}{21}$
$\Rightarrow r^{3}=\frac{880 \times 7 \times 3}{21 \times 22 \times 5}$
$\Rightarrow r^{3}=\frac{40 \times 21}{21 \times 5}$
$\Rightarrow r^{3}=8$
$\Rightarrow r^{3}=8$
$\Rightarrow r=2$
这意味着：
建筑物的高度 $=2 r$
$=2 \times 2$
$=4 \mathrm{~m}$
建筑物的高度为 $4\ m$。
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