一个火箭的形状是一个圆柱体，底部封闭，顶部连接着一个相同半径的圆锥体。圆柱体的半径为\( 2.5 \mathrm{~m} \)，高为\( 21 \mathrm{~m} \)，圆锥体的斜高为\( 8 \mathrm{~m} \)。计算火箭的总表面积和体积。

已知

一个火箭的形状是一个圆柱体，底部封闭，顶部连接着一个相同半径的圆锥体。

圆柱体的半径为\( 2.5 \mathrm{~m} \)，高为\( 21 \mathrm{~m} \)，圆锥体的斜高为\( 8 \mathrm{~m} \)。

要求

我们需要求出火箭的总表面积和体积。

解

火箭底部的半径 $r = 2.5\ m$

圆柱部分的高度 $h_1 = 21\ m$
圆锥部分的斜高 $l = 8\ m$
设圆锥部分的高度为 $h$。

因此，

$l^{2}=r^{2}+h^{2}$

$\Rightarrow(8)^{2}=(2.5)^{2}+h^{2}$

$\Rightarrow 64=6.25+h^{2}$

$\Rightarrow h^{2}=64-6.25$

$\Rightarrow h^{2}=57.75$

$\Rightarrow h=\sqrt{57.75}$

$\Rightarrow h=7.6$

火箭的总表面积 $=\pi r l+2 \pi r h_{1}+\pi r^{2}$

$=\pi r(l+2 h_{1}+r)$

$=\frac{22}{7} \times 2.5(8+2 \times 21+2.5)$

$=\frac{55}{7} \times(10.5+42)$

$=\frac{55}{7} \times 52.5$

$=412.5 \mathrm{~m}^{2}$

火箭的体积 $=\frac{1}{3} \pi r^{2} h+\pi r^{2} h_{1}$

$=\pi r^{2}(\frac{h}{3}+h_{1})$

$=\frac{22}{7} \times(2.5)^{2}(\frac{7.6}{3}+21)$

$=\frac{22 \times 6.25}{7}(\frac{7.6+63}{3})$

$=\frac{22 \times 6.25 \times 70.6}{7 \times 3}$

$=\frac{9707.5}{21}$

$=462.26 \mathrm{~m}^{3}$

火箭的总表面积和体积分别为 $412.5\ m^2$ 和 $462.26\ m^3$。

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更新于：2022年10月10日

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